מטריצה
מונח מתמטי / ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
במתמטיקה, מַטְרִיצָה (Matrix) היא מערך דו-ממדי, שרכיביו הם סקלרים, לרוב מספרים, או איברים בחוג כללי יותר.
בערך זה |
האפשרות לרכז במטריצה מידע רב ולהפעיל עליה שיטות וכלים סטנדרטיים, מוצאת למטריצות שימושים רבים. השימוש השכיח ביותר במטריצות הוא לפתרון של מערכת משוואות ליניאריות באמצעות דירוג מטריצות. מלבד זה חשיבותן העיקרית של המטריצות במתמטיקה, ובעיקר של מטריצות ריבועיות, נובעת מכך שניתן לייצג בעזרתן טרנספורמציות ליניאריות, באופן כזה שפעולת הכפל מתאימה לפעולת ההרכבה של הטרנספורמציות. מסיבות דומות יש לאלגברות של מטריצות תפקיד מרכזי בתורת החוגים.
כאשר n ו-m הם מספרים טבעיים, מטריצה מסדר m על n (או: מסדר ) היא מערך שבו m שורות ו- n עמודות. הרכיבים הם בדרך כלל מספרים - כך למשל "מטריצה ממשית" היא מטריצה שרכיביה מספרים ממשיים, ו"מטריצה מרוכבת" היא מטריצה שרכיביה מספרים מרוכבים. אם R הוא מבנה אלגברי, "מטריצה מעל (מבנה אלגברי) R" היא מטריצה שרכיביה שייכים ל- R.
את רכיבי המטריצה מסמנים בזוג אינדקסים: הרכיב במקום שבו נפגשות השורה ה-i והעמודה ה-j במטריצה A נקרא , או לפעמים .
לדוגמה, המטריצה היא מסדר 4 על 3; הרכיבים הם , וכן הלאה.
פעולות על מטריצות
אוסף המטריצות מסדר m על n מעל שדה נתון F מהווה מרחב וקטורי מעל אותו שדה, כאשר פעולת הכפל בסקלר ופעולת החיבור מוגדרות באופן טבעי, על כל רכיב בנפרד. מקובל לסמן מרחב זה בסימון . את הכפל של מטריצות אין מגדירים באותה דרך, רכיב ברכיב, אלא באופן מסובך מעט יותר. המכפלה מוגדרת רק בתנאי שמספר השורות של B שווה למספר העמודות של A.
אם עבור מטריצה מתקיים , כלומר מספר העמודות במטריצה שווה למספר השורות בה, המטריצה נקראת מטריצה ריבועית. במטריצה ריבועית A, האלכסון שרכיביו נקרא האלכסון הראשי.