איבר יחידה

איבר יחידה (גם: איבר נייטרלי או איבר אדיש) הוא איבר בקבוצה שכאשר מבוצעת עליו פעולה בינארית עם איבר אחר, היא איננה משנה את האיבר האחר.

כאשר נתונים קבוצה ${\displaystyle \ S}$ ופעולה בינארית, שנסמנה ${\displaystyle \ \star }$, המוגדרת על איבריה, אזי:

• איבר ${\displaystyle \ e\in S}$ ייקרא איבר יחידה שמאלי, אם לכל ${\displaystyle \ x\in S}$ מתקיים ${\displaystyle \ e\star x=x}$.
• איבר ${\displaystyle \ e\in S}$ ייקרא איבר יחידה ימני, אם לכל ${\displaystyle \ x\in S}$ מתקיים ${\displaystyle \ x\star e=x}$.

אם ${\displaystyle \ e}$ הוא איבר יחידה שמאלי וגם איבר יחידה ימני, הוא ייקרא בפשטות איבר היחידה.

נניח כי ${\displaystyle \ e,e^{\prime }}$ איברי יחידה, אז ${\displaystyle \ e=e\star e^{\prime }=e^{\prime }}$ ומכאן שאם ישנו איבר יחידה, אז הוא בהכרח יחיד.

נניח כי${\displaystyle e_{R},e_{L}}$ איבר יחידה ימיני ואיבר יחידה שמאלי בהתאמה, אז ${\displaystyle e_{L}=e_{L}\star e_{R}=e_{R}}$ ומכאן שאם קיימים הן איבר יחידה שמאלי והן איבר יחידה ימני, אז הם אותו איבר.

במבנים אלגבריים רבים, כגון חבורה, חוג ושדה, קיומו של איבר יחידה הוא אחד המאפיינים של המבנה האלגברי.