אידיאל (אלגברה)

מושג במתמטיקה / ויקיפדיה האנציקלופדיה החופשית

באלגברה, אידיאל הוא תת-קבוצה של חוג, המקיימת תנאים מסוימים. תנאים אלה מבטיחים שאפשר יהיה לבנות חוגי מנה, מהם ניתן לשאוב מידע על החוג המקורי. תפקידם של האידיאלים בתורת החוגים דומה לזה של תת החבורות הנורמליות בתורת החבורות.

המונח אידיאל מתייחס בדרך כלל לאידיאל דו צדדי, שהוא תת-קבוצה של החוג הסגורה לחיבור וחיסור, וכן לכפל מימין או משמאל באיבר של החוג. דרישות אלה שקולות לכך שפעולות החיבור והכפל על קבוצת הקוסטים מוגדרות היטב, באופן המשרה מבנה של חוג מנה.

בחוגים לא קומוטטיביים, מגדירים באופן דומה גם אידיאל ימני ואידיאל שמאלי, הנקראים אידיאלים חד-צדדיים. אידיאל חד-צדדי הוא מודול (ימני או שמאלי) מעל החוג.