For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for אי-שוויון המשולש.

אי-שוויון המשולש

Triangle inequality.svg

במתמטיקה, אי-שוויון המשולש הוא אי-שוויון מהצורה , כאשר היא פונקציית מרחק. אי-השוויון מתאר את העובדה הגאומטרית שהקו הישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות; בפרט, אורכה של צלע במשולש אינו עולה על סכום אורכי הצלעות האחרות. אי-שוויון המשולש נחשב לתכונה יסודית של כל שיטה למדידת מרחק, ומשום כך מניחים, כאקסיומה, שהוא מתקיים בכל מרחב מטרי או נורמי. הגרסה החזקה נקראת אי-שוויון המשולש למטריקות לא ארכימדיות.

אי-שוויון המשולש בין מספרים ממשיים

ניתן לראות את אי-שוויון המשולש במספרים הממשיים כמקרה פרטי של אי-השוויון על הישר הממשי. כיוון שהמרחק בין שתי נקודות על הישר נמדד באמצעות הערך המוחלט, אי-השוויון במקרה זה שקול ל- , לכל . כשבוחרים c=0, b=y ו- a=x+y, מתקבלת הצורה החלופית . צורה זו אפשר להוכיח בעזרת חיבור שני האי-שוויונים ו- , או בדיקה של האפשרויות השונות לסימנים של x ושל y.
גרסה נוספת של אי-שוויון המשולש היא:

הוכחה פורמלית

לצורך הוכחת אי השוויון נשתמש בתכונות ו- . אם אז . אחרת, ומכאן ולכן . דרך נוספת היא להשתמש בשוויון , ואז .

המקרה המרוכב

אי-שוויון המשולש במישור המרוכב הוא הטענה , המתייחסת למספרים מרוכבים. ניתן להוכיח את נכונותו שם בכמה דרכים: גאומטרית, הוא שקול לתכונות היסוד של משולש; אלגברית, אפשר לקבל אותו על ידי העברת אגפים מתאימה והעלאה בריבוע; וניתן להסיק אותו מאי-השוויון הממשי באמצעות משפט פיתגורס.

אי-שוויון המשולש במרחבים מופשטים

אי-שוויון המשולש מבטא את העובדה שלא ניתן לקצר את הדרך מ- A ל- C על ידי מעבר בנקודה B. זוהי תכונה יסודית כל-כך של מושג ה"מרחק", עד שהיא מהווה אחת מהאקסיומות המגדירות מטריקה ומרחב מטרי. מאותה סיבה, מניחים את האקסיומה בהגדרה של נורמה ומרחב נורמי.

הצד השני של אי-שוויון המשולש, אותו ניתן להוכיח על ידי העברת אגפים, הוא .

ראו גם

קישורים חיצוניים

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
אי-שוויון המשולש
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.