בעיית פרמי

בעיית פרמי היא בעיה שנועדה ללמד שימוש באנליזה ממדית, אומדן ואת חשיבות המודעות להנחות היסוד. באופן טיפוסי בעיות מסוג זה כוללות השערות על אודות כמויות שנראות בלתי אפשריות לחישוב במסגרת המידע המוגבל הנתון בהן.

סוג הבעיה קרוי על שם הפיזיקאי אנריקו פרמי, שנודע בזכות יכולת האומדן המדויקת שלו כמעט ללא צורך בנתונים ממשיים. דוגמה מתועדת לכך היא האומדן שלו לגבי עוצמת הפצצה האטומית בניסוי טריניטי, על פי המרחק שעברו חתיכות דף שנפלו מידו תוך כדי הפיצוץ^[1].

דוגמאות

מכווני פסנתרים בשיקגו

דוגמה קלאסית לבעיית פרמי, המיוחסת לפרמי עצמו, היא השאלה: כמה מכווני פסנתרים יש בשיקגו?

תשובה טיפוסית לשאלה תכלול מכפלה של מספר אומדנים שתיתן הערכה לתשובה המדויקת אם הנחות היסוד נכונות. נשתמש בהנחות הבאות:

1. כ-5 מיליון תושבים גרים בשיקגו.
2. בממוצע, גרים 2 אנשים בכל בית.
3. אחד מתוך כ-20 בתים מחזיק פסנתר.
4. פסנתרים מכוונים בממוצע פעם בשנה.
5. למכוון פסנתרים לוקח כשעתיים לכוון פסנתר, כולל זמן הגעה.
6. מכוון פסנתרים עובד 8 שעות ביום, 5 ימים בשבוע, 50 שבועות בשנה.

על פי הנחות 1-4 נוכל לחשב כי מספר כיווני הפסנתרים בשיקגו בשנה הוא:

(5 מיליון איש בשיקגו) : (2 אנשים בכל בית) × (1 פסנתר/20 בתים) × (1 כיוון לכל פסנתר שנה) = 125,000 כיווני פסנתרים בשיקגו בשנה.

על פי הנחות 5-6, מכוון הפסנתרים הממוצע מבצע:

(50 שבועות/שנה) × (5 ימים/שבוע) × (8 שעות/יום) : (כיוון פסנתר אחד בכל שעתיים) = 1000 כיווני פסנתרים בשנה לכל מכוון פסנתרים.

חלוקה תיתן:

(125,000 כיווני פסנתרים בשנה בשיקגו) : (1000 כיווני פסנתרים לשנה לכל מכוון) = 125 מכווני פסנתרים בשיקגו.

ציבליזציות בגלקסיה

דוגמה נוספת לבעיה דמוית פרמי היא השאלה: כמה ציוויליזציות ישנן בגלקסיה?

נוסחת דרייק מנסה לתת תשובה לשאלה זו בעזרת שימוש במספר אומדנים. השאלה מדוע לא פגשנו באותן ציוויליזצות משוערות עד כה קרויה פרדוקס פרמי.

יתרונות וחסרונות

לעיתים קרובות, מדענים מחפשים השערת פרמי לפני פניה לשיטות מתוחכמות יותר לפתרון בעיה כלשהי. העבודה בשיטה זו מאפשרת מנגנון בקרה טוב על התוצאות: עקב הסיבוכיות הגדולה, השאיפה לפתרון מדויק עלולה להוביל לשגיאות גסות, לעומת הפשטות של חישובי פרמי המאפשרים הרבה פחות מקום לטעות. פתרון מקדים באמצעות פרמי מונע עירוב הטיות שעלולות להיגרם תוך כדי החישוב עצמו.

אומדני פרמי שימושיים גם כאשר ניגשים לבעיה שבה בחירת שיטת הפתרון היעילה תלויה בגודל התשובה הצפוי. לדוגמה, השערת פרמי יכולה לציין האם הלחצים הפנימיים של מבנה מתוכנן קטנים מספיק כדי שניתן יהיה לתאר אותו באמצעות אלסטיות ליניארית.

לעיתים קרובות חישובי פרמי אינם מספקים תשובה נכונה מספיק, לרוב עקב בעייתיות בהנחות המוצא. אמנם, בעייתיות כזו עוזרת בניסיון לחפש אומדן מדויק יותר. למשל בדוגמה של מכווני הפסנתרים אולי ננסה למצוא אומדן טוב יותר של מספר הפסנתרים המכוונים ביום או של מספר התושבים בשיקגו. בנוסף, לעיתים אין צורך באומדן מדויק, ומספיקה השערה של סדר גודל. באותה דוגמה, אם אדם מעוניין ליזום כנס מכווני פסנתרים בשיקגו, הוא יכול להניח קהל יעד בסדר גודל של כמה עשרות, ולכן אין צורך לשכור את האצטדיון העירוני, למשל.

לקריאה נוספת

• האנס כריסטיאן פון באייר, "הפתרון של פרמי", פי האטום ו-1, ינואר 1995.

קישורים חיצוניים

• אוסף בעיות פרמי באתר אוניברסיטת מרילנד
• עוד בעיות פרמי ופתרונותיהן
• מתמטיקה נאיבית ותחושות בטן, רשימה של גיל גרינגרוז

הערות שוליים

1. E. Fermi, My Observations During the Explosion at Trinity on July 16, 1945