גאומטריה היפרבולית
תורה גאומטרית לא אוקלידית / ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
גאומטריה היפרבולית היא גאומטריה לא אוקלידית שבה האקסיומה החמישית של אוקלידס, אקסיומת המקבילים, מוחלפת באקסיומה הבאה:
במהלך השנים שאחרי פרסום הספר "יסודות" של אוקלידס (שלימים היווה את הבסיס לגאומטריה שנקראת על שמו: "גאומטריה אוקלידית"), הייתה מקובלת התחושה שאקסיומת המקבילים (הקובעת שדרך נקודה שמחוץ לישר עובר קו מקביל אחד ויחיד) אינה 'טבעית' ומובנת מאליה כמו יתר האקסיומות של הגאומטריה. תחושה זו הביאה לניסיונות חוזרים ונשנים להוכיח את האקסיומה החמישית כמשפט גאומטרי. כל הניסיונות מסוג זה כשלו, עד שבמאה ה-19, המתמטיקאים גאוס, בויאי ולובצ'בסקי הגיעו במקביל (כל אחד בנפרד) למסקנה שהאקסיומה החמישית אינה נובעת מן האקסיומות האחרות. הם הגיעו להבנה, שניתן להחליף את האקסיומה המקובלת בזו המצוינת לעיל, ולקבל מבנה גאומטרי עשיר ומעניין, גם אם שונה מהגאומטריה האוקלידית המוכרת. אחד ההבדלים הבולטים הוא שבגאומטריה היפרבולית, סכום הזוויות במשולש קטן מ-180 מעלות.
גאומטריה היפרבולית מישורית היא גם הגאומטריה שמתקיימת על פני משטחים "אוכפיים" בכל מקום או משטחים פסאודוספיריים, דהיינו משטחים עם עקמומיות גאוס שלילית קבועה.