היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
משוואה פולינומית היא משוואה בה מופיעים אך ורק מקדמים וחזקות של משתנה מסוים (וכן מספרים קבועים, שהם למעשה מקדמים של ) כמו או .
משוואות פולינומיות נקראות כך משום שלמעשה באופן כללי, פולינום במשתנה אחד, , הוא הצירוף כאשר המקדמים הם מספרים, והחזקות הן מספרים טבעיים (לרבות אפס). באופן כללי, הבעיה של פתרון משוואה פולינומית זהה למציאת שורש של פולינום מתאים.
החזקה הגבוהה ביותר של המשתנה נקראת "מעלת המשוואה", "דרגת המשוואה" או "סדר המשוואה". כך, למשל, המשוואה או כאשר פרמטרים (אם אין הגבלה על ערכם, שתי המשוואות זהות למעשה, כי ניתן לקבל מהאחת את השנייה על ידי החלפת הסימן של ) היא משוואה ממעלה ראשונה, בעוד המשוואות שהובאו בראש הפרק הן ממעלה שנייה ושמינית בהתאמה. פתרונן של משוואות ממעלה ראשונה הוא פשוט מאוד ( בניסוח הראשון, או בניסוח השני), אך מעבר להן הפתרון כבר איננו מיידי.
הרעיון שעומד בבסיס הפתרון של משוואה ממעלה שנייה היה ידוע כבר לבבלים ולאנשי יוון העתיקה, אך הפתרון של משוואה ממעלה שלישית נמצא רק במאה ה-16, ומעט לאחריו נמצא הפתרון של משוואה ממעלה רביעית. פתרון המשוואה ממעלה שלישית היה בין ההשגים הגדולים של המדע בתקופת הרנסאנס וסימן, במידה מסוימת, את סיום תקופת ה"עצירה" שניכרה בעולם המתמטי במהלך ימי הביניים (והאימפריה הרומית).
פתרון משוואות מסדר גבוה יותר, חמישי ומעלה, היה אתגר למתמטיקאים במשך שנים רבות, עד אשר הובן במהלך המאה ה-19, בעזרת כלים מתמטיים מתוחכמים יחסית (ומתקדמים יותר מאשר האלגברה הבסיסית שבעזרתה נפתרו הבעיות של המשוואות ממעלה שלישית ורביעית), כי לא ניתן להגיע לפתרון של משוואות אלו בעזרת ארבע פעולות חשבון ושימוש בשורשים.