Loading AI tools
מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
הלמה של אוריסון היא תוצאה בסיסית בטופולוגיה קבוצתית, שהוכחה על ידי המתמטיקאי הרוסי-יהודי פאבל סמואילוביץ' אוריסון, ממייסדי הענף. הלמה, אותה הוכיח אוריסון בתחילת שנות העשרים של המאה העשרים, נחשבת לפעמים לתוצאה הלא טריוויאלית הראשונה בתחום.
הלמה של אוריסון קובעת שבמרחב נורמלי, אפשר להפריד בין קבוצות סגורות באמצעות פונקציה רציפה, כלומר: לכל שתי קבוצות סגורות וזרות ו-, קיימת פונקציה רציפה מן המרחב כולו לקטע , כך ש- ו-. הלמה אינה מבטיחה הפרדה מדויקת בין הקבוצות - זוהי תכונה המאפיינת מרחבים נורמליים באופן מושלם, ואינה מתקיימת בכל מרחב נורמלי.
כל מרחב מטרי, וגם כל מרחב האוסדורף קומפקטי הם מרחבים נורמליים, וכך הלמה זוכה לשימושים רבים בטופולוגיה. אחד השימושים החשובים שלה הוא ההכללה הקרויה משפט טיצה.
בין ל- בונים באופן אינדוקטיבי מעין טבעות בצל מקוננות, כאשר הטבעת שהיא מתאימה לערך 0 והטבעת האחרונה, שמחוץ לה יש רק את , מתאימה לערך 1. עבור נקודה שלא ב- ולא ב- הערך ניתן באמצעות האינדקס המינימלי של הטבעת שעדיין מכילה אותו.
יהיו ו- סגורות וזרות. תהי מניה של המספרים הרציונליים בין 0 ל 1 (כולל). אנו נבנה סדרת קבוצות ("טבעות") שמקיימות:
האפשרות לבנות כזאת קבוצה נובעת מהנורמליות של המרחב, שכן לכל שתי קבוצות סגורה ו- פתוחה כך ש קיימת קבוצה פתוחה כך ש (אנו אומרים שבמקרה זה אפשר להשחיל "טבעת" בין קבוצה סגורה לקבוצה פתוחה המכילה אותה).
הוכחת הבנייה עצמה נעשית באינדוקציה.
פונקציית אוריסון מוגדרת באופן הבא:
מכאן ברור ש , נותר להוכיח ש- אכן רציפה.
תהי קבוצה פתוחה בקטע . מתכונות של רציפות טופולוגית מספיק להוכיח שכל הקבוצות מהצורה ו- הן פתוחות ב-.
מכאן נובע ש פונקציה רציפה.
בכך הושלמה ההוכחה.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.