Loading AI tools
מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
התייחסות עצמית היא תופעה, בשפה טבעית או מתוכננת, שבה משפט מתייחס אל עצמו, במישרין או בעקיפין.
התייחסות עצמית עומדת בבסיסם של פרדוקסים רבים, שלחלק מהם תפקיד חשוב בפילוסופיה ובמתמטיקה. התייחסות עצמית ממלאת תפקיד חשוב במדעי המחשב, הן בצד התאורטי והן בצד התכנותי (רקורסיה), היא עומדת בבסיסם של פרקטלים רבים, וממלאת תפקיד מרכזי גם באמנות, וכן בשעשועים לשוניים ומתמטיים רבים.
באמנות המונח "ארס פואטיקה" מתאר יצירות המתייחסות לעצמן או לאמנות באופן כללי, וישנן דוגמאות רבות לכך בשירה, בפרוזה, בציור ובפיסול.
פרדוקס השקרן סובב סביב המשפט: "המשפט הזה הוא שקר". הפרדוקס טמון בכך שהמשפט הנ"ל לא יכול להיות אמת (שכן אז לפי המשפט הוא שקר), ולא יכול להיות שקר. לפרדוקס זה חשיבות רבה בלוגיקה, משום שהוא מצריך בחינה מחודשת של המושגים 'משפט', 'אמת' ו'שקר'. דרך אחת לפתור את הפרדוקס היא להגדיר בצורה מדוקדקת מהם משפטים בצורה של שלבים: משפטים רגילים מדברים על עצמים, ישנם מטה-משפטים: שהם משפטים שמדברים על משפטים רגילים, מטה-מטה משפטים: משפטים שמדברים על מטה-משפטים וכך הלאה. בבנייה כזאת לא ניתן לבנות משפט המתייחס לעצמו ולכן הפרדוקס נמנע. אפשרות אחרת להתמודדות עם המשפט היא בלוגיקה עמומה: למונח 'אמת' מייחסים את הערך 1, למונח 'שקר' מייחסים את הערך 0, וערך של משפט יכול להיות 0,1 או כל מספר ביניהם. כך, למשל, הערך של "המשפט הזה הוא שקר" הוא 0.5.
לפרדוקס השקרן וריאציות רבות בלוגיקה, במתמטיקה ובמדעי המחשב.
הפילוסופיה המודרנית בכלל והפילוסופיה של המדע בפרט מבוססת במידה רבה על שיטתו הפילוסופית של רנה דקארט. השלב הראשון של משנתו היה ניסיון להטיל ספק בכל דבר, על מנת שיוכל לבסס את הפילוסופיה על הנחות יסוד ודאיות. הדבר היחיד שבו לא היה יכול להטיל ספק, הייתה העובדה שהוא מטיל ספק; מכאן המשיך דקארט והסיק את קיומו הוא. את המהלך הלוגי ניסח דקארט באמרתו הידועה 'קוגיטו ארגו סום' ('אני חושב, משמע אני קיים'; מכונה בקיצור ה'קוגיטו' של דקארט). משפט זה מכיל התייחסות עצמית עקיפה, שכן הטענה 'אני חושב' נגזרת מעצם יכולתו של דקארט לנסח את הטענה.
הטיעון האונטולוגי הוא סוגיה חשובה בפילוסופיה, העוסקת בשאלת קיומו או אי קיומו של אלוהים. במשך השנים הובאו "הוכחות" רבות לכאן ולכאן, ובחלק מהן נעשה שימוש בהתייחסות עצמית. להלן דוגמה להוכחה כזו לאי קיומו של אלוהים:
הוכחה זו משתמשת בהתייחסות עצמית, שכן הגדרת האובייקט שיוצר את הסתירה (אבן שאלוהים לא יכול לשבור) מתבססת על התכונה שמנסים לסתור (היותו של אלוהים כל יכול).
במסורת הקבלית עצם מציאות העולם המוחשי בתוך הווייתו של אלוהים מצריך את צמצומו של אלוהים. כלומר, עצם קיום היקום כולו או כל חלק ממנו, מהווה חלק מפרדוקס הטיעון האונטולוגי. פתרון פרדוקס זה 'לא מובן, ולא יכול להיות מובן' לאדם, ועם זאת העובדה היא שהיקום אכן קיים (לפחות לפי רוב מביני התפיסה הקבלית), וקיום זה נעשה על ידי "סוד הצמצום" ויצירת 'החלל הפנוי'[1].. צמצום זה לא נעשה רק פעם אחת, אלא בכל רגע ורגע קיים הפרדוקס, והוא נפתר שוב ושוב על ידי המשך קיום הצמצום, ובריאה מחודשת בין רגע כל הזמן[2].
התייחסות עצמית משמשת לעיתים ככלי ביקורת כנגד תאוריות רלטיביסטיות. המשותף לתאוריות אלה היא הטענה כי לא קיים ערך אחיד של אמת או נכונות. הטענה הבסיסית של רלטיביזם מוסרי, לדוגמה, היא כי אין ערכים מוסריים נכונים, וכי הערכים המוסריים המצויים בתרבות מסוימת הם אלה הנכונים לתרבות זו. השימוש בהתייחסות עצמית ככלי ביקורתי מראה כי הטענה הבסיסית של רלטיביזם מוסרי כלל אינה רלטיביסטית אלא אובייקטיבית. מסקנה כזו מובילה לסתירה בין הבסיס של התאוריה ובין תוצאותיה. ביקורת כזו אפשר להפעיל על כל משפחת התאוריות הרלטיביסטיות.
בשנת 1901 הציג הפילוסוף והמתמטיקאי האנגלי ברטרנד ראסל את הפרדוקס של ראסל: נבנה קבוצה המכילה את כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן. בנייה זאת היא פרדוקסלית מכיוון שקבוצה זו איננה יכולה להכיל את עצמה, ואיננה יכולה שלא להכיל את עצמה, ומכאן שקבוצה זו אינה יכולה להתקיים. פרדוקס זה הביא לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית שבה המושג קבוצה מוגדר בצורה שיטתית ולא מאפשר לקבוצה להכיל את עצמה.
העיסוק בשאלה 'מהי אמת' העסיק את הפילוסופיה במשך אלפי שנים, וסביבו מבוסס ענף הלוגיקה. בתחילת המאה ה-20 נוסתה גישה מתמטית לשאלה העתיקה הזאת, בניסיון לזהות משפט מתמטי המבטא אמת (אמיתי) כמשפט בר הוכחה. הרעיון, הנקרא 'הפרוגרמה של הילברט', היה לנסח בצורה מתמטית מדויקת את האקסיומות הבסיסיות (משפטים המקובלים כאמיתיים ללא צורך בהוכחה) ואת הדרכים המותרות לנסח משפט אמיתי חדש על סמך משפטים אמיתיים קודמים. באופן זה ניתן, למשל באמצעות תוכנת מחשב, לייצר משפטים אמיתיים בזה אחר זה, ובאופן תאורטי לפחות, לקבל את כל המשפטים האמיתיים, ולזהות משפט שקרי בכך שאינו נמצא ברשימת המשפטים האמיתיים. כך ניתן יהיה להחליט חד-משמעית אם משפט נתון הוא אמיתי או שקרי.
הפרוגרמה הזאת נחלה מפלה ניצחת בזכות עבודותיו של הלוגיקאי קורט גדל. גדל הצליח להראות שישנם משפטים שלא ניתן להוכיח אותם ואף לא לסתור אותם, ועל כן אי אפשר לקבוע אם הם אמיתיים או שקריים. הוכחתו של גדל – הנקראת משפטי האי-שלמות של גדל – מבוססת על וריאציה של פרדוקס השקרן. היא מבוססת על כך שניתן להצמיד לכל משפט מספר. באופן זה משפטים במתמטיקה המתייחסים למספרים, ניתן לראות אותם גם כמשפטים המתייחסים למשפטים אחרים, ובפרט ניתן ליצור משפט המתייחס לעצמו. באופן זה הצליח גדל ליצור מקבילה מתמטית לאמירה 'המשפט הזה אינו בר הוכחה', וליצור פרדוקס: אם המשפט אמיתי אז אכן אין דרך להוכיחו, מה שהופך אותו לשקרי. כדי להימנע מהפרדוקס חייבים להכיר בכך שקיימת אפשרות שלישית – משפט שאינו אמיתי ואינו שקרי.
למשפטי האי שלמות של גדל יש השלכות החורגות מתחום תורת המספרים: כל מערכת סופית של חוקים וכללים המאפשרת התייחסות עצמית, מביאה בהכרח למצבים שאי אפשר לקבוע אם הם ״חוקיים״ או לא.
במתמטיקה, הגדרה רקורסיבית מגדירה משפחה של אובייקטים באמצעות אובייקטים מהמשפחה עצמה. הגדרה כזו זקוקה לרוב ל"תנאי עצירה", כלומר אובייקטים ראשוניים המוגדרים ישירות. דוגמה להגדרה רקורסיבית היא הגדרת סדרת פיבונאצ'י, בה כל איבר בסדרה הוא סכום שני הקודמים לו, מלבד שני האיברים הראשונים, להם מוגדר "תנאי עצירה":
פרקטלים הם צורות בעלות דמיון עצמי. לדוגמה משולש שרפינסקי (הנראה באיור) מכיל שלושה עותקים מוקטנים של עצמו (וכל אחד מהם מכיל שלושה עותקים מוקטנים של עצמו, עד אינסוף). אלו החלו להתגלות לקראת סוף המאה ה-19, ושמם ניתן להם על ידי בנואה מנדלברוט. אחת התכונות המעניינות בצורות הללו היא שהממד שלהן אינו שלם. לצורות רבות בטבע, כגון עלים, קווי חוף, פסגות הרים ועוד, יש מבנה פרקטלי.
לפרקטלים ודמיון עצמי שלהם חשיבות רבה בתחומים שונים של הפיזיקה. תורת הרנורמליזציה המשמשת בעיקר לתיאור מעברי פאזה, מבוססת על מערכות המציגות דמיון עצמי. על פי התורה, כאשר למערכת יש דמיון עצמי, ניתן לתאר התנהגויות שונות של המערכת באמצעות כללי חזקה. דמיון עצמי ופרקטלים משחקים תפקיד חשוב גם בתורת הכאוס.
במשך שנים רבות שאפו פיזיקאים תאורטיים רבים למצוא הסבר פשוט המסביר את הקבועים הרבים הקיימים במודל הסטנדרטי של פיזיקת החלקיקים. מטרה זאת הייתה אחת המטרות המרכזיות של תורת המיתרים, יחד עם הניסיון לאחד את תורת הקוונטים ותורת היחסות הכללית. כיום בקרב פיזיקאים רבים, מהמובילים בתחומם, טוענים שתורת המיתרים אומנם מצליחה לאחד את תורת הקוונטים ואת תורת היחסות הכללית, אך מאפשרת את קיומם של עולמות רבים, שבהם הקבועים היסודיים של הטבע, ואף מספר הממדים והמושגים הבסיסיים של זמן ומרחב, שונים מאלו שבעולם שלנו - ואנחנו פשוט נמצאים על אחד משלל העולמות האפשריים. ההסבר היחיד לפי תפיסה זאת לקבועים היסודיים של הטבע הוא טיעון הנקרא 'העיקרון האנתרופי' שמבוסס על התייחסות עצמית, ולפיו רק הצירוף של הקבועים היסודיים הקיימים בעולם שלנו מאפשר את יצירתם של הכוכבים והגלקסיות והחיים כפי שאנחנו מכירים אותם. רק בעולם שלנו הקיום שלנו אפשרי, ולכן הקיום שלנו הוא הסיבה לכך שהקבועים של הטבע הם כפי שהם.
בתכנות, רקורסיה מתארת שגרת מחשב (פונקציה או פרוצדורה) הקוראת לעצמה. דוגמה נפוצה לשימוש ברקורסיה היא פתרון חידת מגדלי האנוי. כדי להעביר מגדל של n דיסקיות השגרה קוראת לעצמה על מנת להעביר את n-1 הדיסקיות העליונות מהמגדל הראשון לשלישי, אחר כך מעבירה את הדיסקית התחתונה מהמגדל הראשון לשני, ולבסוף קוראת לעצמה על מנת להעביר את n-1 הדיסקיות מהמגדל השלישי אל המגדל השני.
בשיטות רקורסיביות נעשה שימוש רב גם בציור של צורות פרקטליות.
המתמטיקאי האנגלי אלן טיורינג, שהניח את היסודות לתורת החישוביות, השתמש בהתייחסות עצמית על מנת להראות שבעיית העצירה איננה פתירה. תורת החישוביות עוסקת במודלים לחישוב ובפונקציות הניתנות לחישוב במסגרתם. בעיית העצירה היא אחת הבעיות המרכזיות בתחום, והיא שואלת האם בהינתן תוכנת מחשב, יכולה תוכנת מחשב אחרת לבדוק אותה בזמן סופי ולקבוע האם התוכנה אי פעם תעצור. טיורינג הצליח לבנות אנלוג של פרדוקס השקרן לבעיה הזאת, ובכך להראות שלא ניתן לקבוע לכל תוכנה אם היא תיעצר או לא.
התייחסות עצמית משמשת ככלי חשוב בתחומי אמנות רבים, בדרך כלל למילוי אחת משתי מטרות: יצירת דיון פילוסופי בשאלות הנוגעות לאמנות, או יצירת אפקט הומוריסטי או מבדר. התייחסות עצמית ברמה גבוהה יותר היא הארס פואטיקה בה יצירות אמנות עוסקות באמנות באופן כללי, ובכך הן מתייחסות בעקיפין לעצמן.
נוסף על התחומים החשובים שבהם התייחסות עצמית משחקת תפקיד, ריתק הנושא מאז ומתמיד חידונאים ואנשים העוסקים בשעשועים לשוניים ומתמטיים. כתוצאה נוצרו מגוון משפטים הומוריסטיים וחידות המשתמשים בהתייחסות עצמית כדי ליצור פרדוקסים משעשעים. במקרים רבים, מדובר ביישום כלשהו של אחד הפרדוקסים הלוגיים או המתמטיים העוסקים בהתייחסות עצמית (כגון פרדוקס השקרן או הפרדוקס של ראסל). לדוגמה:
פתרון אפשרי הוא להגדיר היטב את המושג "מספר מיוחד".
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.