חבורת אוילר
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
חבורת אוילר (נקראת בדרך כלל חבורת ההפיכים מודולו ) היא החבורה של המספרים השלמים הזרים ל- (כלשהו), עם פעולת הכפל מודולו . לחבורות אלה תפקיד יסודי בתורת המספרים האלמנטרית: לאונרד אוילר נעזר במבנה הזה – עוד לפני שתורת החבורות באה לעולם – כדי להוכיח את ההכללה של המשפט הקטן של פרמה, הידועה בשם "משפט אוילר".
מקובל לסמן את החבורה ב-, או (הסימון האחרון מדגיש כי זוהי חבורת ההפיכים בחוג ). בחבורת אוילר של יש איברים, כאשר היא פונקציית אוילר. מנקודת מבט זו, משפט אוילר הוא משפט לגראנז' המיושם לחבורת אוילר.
לדוגמה, חבורת אוילר מסדר 15 כוללת את המספרים . קיומה של החבורה מבוסס על עובדה שהייתה ידועה כבר לאוקלידס ומופיעה בספרו "יסודות": אם שני מספרים הזרים ל-, אזי גם המכפלה זרה ל-. במילים אחרות, הקבוצה סגורה לכפל. בנוסף לזה, אם זר ל- אזי אלגוריתם אוקלידס המורחב מאפשר למצוא מספרים שלמים עבורם , ובחישוב מודולו מתקבל כי הוא ההופכי של (הנקרא הופכי כפלי מודולרי של ); מכאן שהקבוצה כוללת, עבור כל איבר שלה, גם איבר הפכי – ולכן היא חבורה.
חבורת אוילר מאגדת את התכונות הבסיסיות של החישוב בשאריות מודולו , ואין פלא שהיא מופיעה תדיר בשימושים של תורת המספרים; לדוגמה, בשיטת ההצפנה RSA.
בחישוב המבנה של חבורת אוילר עסק גאוס, שמצא כי החבורה ציקלית בדיוק כאשר שווה ל-1, 2, 4, חזקה של מספר ראשוני אי-זוגי, או פעמיים חזקה כזו (ראו איבר פרימיטיבי).