For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for חבורת התמורות הזוגיות.

חבורת התמורות הזוגיות

בתורת החבורות, חבורת התמורות הזוגיות הוא שמה של תת חבורה נורמלית מסוימת וחשובה של החבורה הסימטרית. לכל מספר טבעי , מחצית מבין התמורות בחבורה הסימטרית הן בעלות סימן , ומחצית הן בעלות סימן . הקבוצה של התמורות בעלות סימן חיובי היא תת-חבורה מאינדקס 2 של - חבורת התמורות הזוגיות. מקובל לסמן חבורה זו באות (Alternating Group). בעקבות המיון של מערכות שורשים, סימון זה מתאר בהקשרים אחרים גם את הטיפוס של החבורה הסימטרית עצמה, בתור חבורת קוקסטר.

כל תמורה ניתנת לכתיבה כמכפלה של חילופים (טרנספוזיציות). ניתן להציג תמורה נתונה כמכפלה של חילופים באופנים שונים, ומספרם של החילופים אינו בהכרח קבוע; עם זאת, הזוגיות של מספר החילופים, כלומר השארית בחלוקה לשתיים, אינה משתנה. חבורת התמורות הזוגיות כוללת את התמורות שהן מכפלת מספר זוגי של חילופים. מכיוון שסימן של מכפלת תמורות שווה למכפלת הסימנים (), מכפלה של תמורות זוגיות היא זוגית, ולכן אוסף התמורות הזוגיות מהווה חבורה.

לדוגמה, כוללת את כל המחזורים באורך 3, בעלי הצורה . קבוצת המחזורים באורך 3 יוצרת את . אם אפשר ליצור את החבורה באופן דומה, על ידי התמורות מהצורה כאשר שונים זה מזה.

חשיבותן הרבה של החבורות נובעת מכך שהן חבורות פשוטות לכל . בפרט, החבורה , שסדרה 60, היא החבורה הפשוטה הקטנה ביותר (שאינה ציקלית). משפחה זו של חבורות פשוטות היא הראשונה שהתגלתה. שאר החבורות הפשוטות הסופיות, פרט ל-26 החבורות הספורדיות, הן חבורות של מטריצות מעל שדות סופיים. העובדה שהחבורות הן פשוטות לכל n > 4, משמשת, לדוגמה, בהוכחת אחד המשפטים המרכזיים בתורת גלואה - שלא קיימת נוסחה כללית לפתרון פולינום מדרגה > 4.

מן העובדה ש- פשוטה נובע שזוהי תת-החבורה היחידה מאינדקס 2 של החבורה הסימטרית ; עובדה זו נכונה אפילו כאשר . אם אז אין לחבורה הסימטרית אף תת-חבורה אחרת מאינדקס (זוהי תוצאה של העידון של משפט קיילי). לעומת זאת, לחבורה יש שלוש תת-חבורות מאינדקס 3, שכולן איזומורפיות לחבורה הדיהדרלית מסדר 8.

החבורות הקטנות

חבורת התמורות הזוגיות אינה פשוטה: יש לה סדרת ההרכב

.

חבורה זו מספקת את הדוגמה הנגדית הקטנה ביותר לכיוון ההפוך של משפט לגראנז': אין לה תת-חבורה מסדר 6.

מבין הגופים האפלטוניים, חבורת התמורות של הטטרהדרון בן 4 הפאות המשולשות, שווה לחבורה . חבורות התמורות של הקובייה ושל האוקטהדרון בן 8 הפאות המשולשות איזומורפיות שתיהן לחבורה הסימטרית . המילטון הוכיח ב-1856 שחבורת תמורות של הדודקהדרון בן 12 הפאות המחומשות ושל האיקוסהדרון בן 20 הפאות המשולשות איזומורפית ל- .

לתיאור גאומטרי זה של החבורות יש קשר הדוק להצגה שלהן לפי יוצרים ויחסים:

להשלמת התמונה, יש לציין כי החבורה אינסופית וגרף קיילי שלה מרצף את המישור באמצעות משולשים ותריסריונים משוכללים.

בכמה מקרים אפשר להציג חבורה של תמורות זוגיות גם כחבורה של מטריצות מעל שדה סופי: , ו-. לעומת זאת, ו- הן חבורות פשוטות לא-איזומורפיות מאותו סדר [1].

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ^ J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, Thm. 8.24.
{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
חבורת התמורות הזוגיות
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.