חוג עם חילוק
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
במתמטיקה, חוג עם חילוק הוא חוג (אסוציאטיבי) עם יחידה, שבו כל איבר שונה מאפס הוא הפיך. חוג קומוטטיבי (לא טריוויאלי) עם חילוק אינו אלא שדה. הדוגמה הראשונה והמוכרת ביותר לחוג עם חילוק שאינו שדה היא אלגברת הקווטרניונים של המילטון.
חוגים עם חילוק מופיעים באופן טבעי באלגברה (האסוציאטיבית) בזכות הלמה של שור: חוג האנדומורפיזמים של מודול פשוט הוא חוג עם חילוק. תוצאה זו היא המפתח לתורת המבנה של ארטין-ודרברן, המוכיחה בין השאר שכל חוג ארטיני פשוט הוא חוג של מטריצות מעל חוג עם חילוק (משפט ודרברן-ארטין).
בחקירת המבנה של חוגים עם חילוק, נקודת המוצא היא העובדה שהמרכז של חוג עם חילוק הוא שדה, ולכן החוג מהווה אלגברה מעל המרכז שלו. חוגים עם חילוק בעלי ממד סופי מעל המרכז, שהוא שדה, נלמדים יחד עם שאר האלגברות הפשוטות המרכזיות מעל אותו שדה. אחד הכלים המרכזיים לחקירת אלגברות חילוק מעל שדה נתון הוא חבורת בראואר של השדה.
גם בתאוריה של אלגברות לא אסוציאטיביות, המיון של אלגברות עם חילוק תופס מקום יסודי בתורת המבנה של כל מחלקה חשובה. תיאור מלא של אלגברות עם חילוק מממד סופי ידוע עבור אלגברות אלטרנטיביות, אלגברות ז'ורדן ואלגברות ריבועיות.