טור למברט הוא מושג במתמטיקה , הנקרא על שם יוהאן היינריך למברט , ומתאר טור אינסופי בעל הצורה:
S
(
q
)
=
∑
n
=
1
∞
a
n
q
n
1
−
q
n
.
{\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}.}
יש לפשט ערך זה : הערך מנוסח באופן טכני מדי, וקשה להבנה לקהל הרחב.
יש להשלים ערך זה : בערך זה חסר תוכן מהותי.
ערכיה של הפונקציה
S
(
q
)
=
∑
n
=
1
∞
q
n
1
−
q
n
{\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}
בתחום ההתכנסות שלה במישור המרוכב (שהוא עיגול היחידה
|
q
|
<
1
{\displaystyle |q|<1}
), מיוצגים באמצעות צביעת התחום בצבעים שונים.
אשר ניתן לפתחו פורמלית באמצעות הנוסחה לסיכום טור הנדסי אינסופי, מה שמניב את הטור:
S
(
q
)
=
∑
n
=
1
∞
a
n
∑
k
=
1
∞
q
n
k
=
∑
m
=
1
∞
b
m
q
m
{\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}}
כאשר המקדמים של הטור החדש ניתנים על ידי קונבולוציית דיריכלה של a n עם הפונקציה הקבועה 1(n ) = 1:
b
m
=
(
a
∗
1
)
(
m
)
=
∑
n
∣
m
a
n
.
{\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.\,}
לטורי למברט יש שלל הקשרים במתמטיקה, במיוחד בתורת המספרים ובאנליזה מתמטית .
מכיוון שהסכום האחרון הוא סכום אריתמטי טיפוסי, כמעט כל פונקציה כפלית אריתמטית תהיה סכימה כאשר עושים בה שימוש כמקדמים של טור למברט. למשל, מתקיים
∑
n
=
1
∞
q
n
σ
0
(
n
)
=
∑
n
=
1
∞
q
n
1
−
q
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}
כאשר
σ
0
(
n
)
=
d
(
n
)
{\displaystyle \sigma _{0}(n)=d(n)}
היא פונקציית מחלקים מסדר אפס, השווה למספר המחלקים הטבעיים של המספר n .
בעבור פונקציות מחלקים מסדר גבוה יותר, מקבלים
∑
n
=
1
∞
q
n
σ
α
(
n
)
=
∑
n
=
1
∞
n
α
q
n
1
−
q
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}}
כאשר
α
{\displaystyle \alpha }
הוא כל מספר מרוכב ו-
σ
α
(
n
)
=
(
Id
α
∗
1
)
(
n
)
=
∑
d
∣
n
d
α
{\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,}
היא פונקציית מחלקים. בעבור
α
=
1
{\displaystyle \alpha =1}
טור למברט המתקבל שווה ל-
q
F
′
(
q
)
F
(
q
)
{\displaystyle q{\frac {F'(q)}{F(q)}}}
ביטוי אשר (עד כדי פקטור
q
{\displaystyle q}
) שווה לנגזרת הלוגריתמית של הפונקציה היוצרת של פונקציית החלוקה
F
(
q
)
:=
1
ϕ
(
q
)
=
∑
k
=
0
∞
p
(
k
)
q
k
=
∏
n
=
1
∞
1
1
−
q
n
.
{\displaystyle F(q):={\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{n}}}.}
ניתן לזהות את השוויון בין
q
F
′
(
q
)
F
(
q
)
{\displaystyle q{\frac {F'(q)}{F(q)}}}
לטור למברט שתואר מקודם על סמך חוקי הלוגריתמים (לוגריתם של מכפלה אינסופית שווה לטור אינסופי של לוגריתמים) וגזירה איבר איבר של טור הלוגריתמים המתקבל, באמצעות כלל השרשרת .
קשרים נוספים של טורי למברט לפונקציות אריתמטיות שונות כוללים את:
∑
n
=
1
∞
φ
(
n
)
q
n
1
−
q
n
=
q
(
1
−
q
)
2
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}},}
הסבר : את משוואה זו ניתן להסביר על סמך הזהות של אגף ימין שלה עם
q
(
1
−
q
)
2
=
∑
n
=
1
∞
(
∑
k
=
n
∞
q
k
)
=
∑
n
=
1
∞
n
q
n
{\displaystyle {\frac {q}{(1-q)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }(\sum _{k=n}^{\infty }q^{k})=\sum _{n=1}^{\infty }nq^{n}}
, ולאחר מכן הפעלת הזהות הקלאסית
∑
d
|
n
φ
(
d
)
=
n
{\displaystyle \sum _{d|n}\varphi (d)=n}
על אגף שמאל; בדרך זאת מקבלים שוויון בין המקדמים של
q
n
{\displaystyle q^{n}}
משני אגפי המשוואה.
בעבור פונקציית פון מנגולדט
Λ
(
n
)
{\displaystyle \Lambda (n)}
:
∑
n
=
1
∞
Λ
(
n
)
q
n
1
−
q
n
=
∑
n
=
1
∞
log
(
n
)
q
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\log(n)q^{n}}
∑
n
=
1
∞
λ
(
n
)
q
n
1
−
q
n
=
∑
n
=
1
∞
q
n
2
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}}
כאשר הסכום באגף ימין של הפונקציה האחרונה קשור לאחת מפונקציות תטא של יעקובי באופן הבא:
1
2
(
ϑ
3
(
q
)
−
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right)}
.
ישנם גם קשרים מעניינים של טורי למברט עם פונקציית סכום הריבועים , הבאים לידי ביטוי במגוון זהויות על הפונקציה היוצרת שלה. למשל, את הפונקציה היוצרת של
r
2
(
n
)
{\displaystyle r_{2}(n)}
ניתן להציג בצורה:
∑
n
=
1
∞
4
⋅
(
−
1
)
n
+
1
q
2
n
+
1
1
−
q
2
n
+
1
=
∑
m
=
1
∞
r
2
(
m
)
q
m
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4\cdot (-1)^{n+1}q^{2n+1}}{1-q^{2n+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }r_{2}(m)q^{m}.}
כלומר זהו טור למברט שבו כל המקדמים של האיברים במקומות הזוגיים מתאפסים, ומקדמי האיברים שבמקומות האי זוגיים זהים בערכם המוחלט (שהוא 4) אך מתחלפים לסירוגין בסימנם.