Loading AI tools
מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
משפט ההעתקה הפתוחה הוא משפט חשוב באנליזה פונקציונלית הנוגע לאופרטורים. את המשפט ניסח והוכיח סטפן בנך.
יהי אופרטור ליניארי חסום בין מרחבי בנך שהוא על . אזי העתקה פתוחה, כלומר: לכל קבוצה פתוחה תמונתה היא קבוצה פתוחה ב-.
מאחר שכל קבוצה פתוחה במרחב מכילה כדור, מספיק להראות שעבור כל כדור פתוח שמרכזו נקודת האפס של , התמונה היא קבוצה פתוחה. לשם כך מספיק להראות ש- היא נקודת פנים של (לגבי שאר הנקודות זה נכון בגלל הזזה).
כדי להראות ש- היא אכן נקודת פנים משתמשים במרכז של קבוצה. מרכז של קבוצה הוא כל נקודות המרכז שלה. נקודת מרכז של קבוצה היא נקודה המקיימת, לכל במרחב, קיים מספר חיובי כך שקטע מהישר מוכל כולו ב-. היתרון בהגדרה זו היא הליניאריות שבה ואפשר להראות שהמרכז של קבוצה הוא אינווריאנטי תחת פעולות ליניאריות.
כעת, ניעזר במשפט ליפשיץ:
כעת, נוכיח ש- היא נקודת מרכז של . בהינתן נקודה עלינו להראות שקיים קטע המוכל ב-, עבור ערך כלשהו. מאחר ש- על קיים כך ש-. מאחר שכדור הוא קבוצה פתוחה ובפרט קבוצה -קמורה נובע ש- נקודת מרכז של הכדור, ולכן קיים קטע של הישר שמוכל כולו ב-. כעת, אם נפעיל את על הקטע נקבל ש- (השוויון השמאלי נובע מהפעלת על ומליניאריות). לכן, היא נקודת מרכז של וממשפט ליפשיץ גם נקודת פנים שלה. לכן קבוצה פתוחה.
מאחר שהראנו שההעתקה מעבירה כדור פתוח לכדור פתוח נובע שהיא העתקה פתוחה.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.