Loading AI tools
מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בטופולוגיה, משפט טיכונוב קובע שאם משפחה של מרחבים טופולוגיים קומפקטיים, אז גם מרחב המכפלה קומפקטי. המשפט נחשב אחד המשפטים החשובים ביותר בטופולוגיה כללית, אם לא החשוב שבהם, והוכיח אותו אנדריי טיכונוב בתחילת שנות ה-30 של המאה ה-20.
כאשר מדובר במכפלה של מספר סופי של מרחבים, ההוכחה נובעת בקלות יחסית מן ההגדרה של טופולוגיית המכפלה. אלא שהמשפט תקף גם עבור מכפלות מכל גודל (ואפילו שאינן בנות מנייה) עם טופולוגיית המכפלה (המכונה גם טופולוגיית טיכונוב). משפט זה מספק גם צידוק משמעותי להעדפת טופולוגיית המכפלה על פני טופולוגיית התיבות.
מלבד היישומים של המשפט בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית, משפט טיכונוב מוכר בתורת הקבוצות האקסיומטית כניסוח שקול לאקסיומת הבחירה הקובעת שאם כל הקבוצות במשפחה אינן ריקות אז גם קבוצת המכפלה אינה ריקה. הגרסה המוחלשת של המשפט, המתייחסת רק לקומפקטיות של מכפלת מרחבי האוסדורף קומפקטיים, אינה גוררת את אקסיומת הבחירה. עם זאת, גם הגרסה המוחלשת אינה ניתנת להוכחה במסגרת אקסיומות צרמלו-פרנקל (ZF, ללא אקסיומת הבחירה).
ישנן מספר הוכחות למשפט טיכונוב.
יהא מרחב טופולוגי עם תת בסיס . אם לכל כיסוי של המרחב על ידי קבוצות מ- יש תת-כיסוי סופי, אז קומפקטי.
הוכחה: נניח בשלילה כי אינו קומפקטי אזי יש לו כיסוי שאין לו תת-כיסוי סופי. לפי הלמה של צורן נוכל לבחור כיסוי מקסימלי (ביחס להכלה) שאין לו תת-כיסוי סופי, בה"כ הוא אוסף של קבוצות פתוחות בסיסיות. כלומר לכל קבוצה פתוחה שלא נמצאת ב- מתקיים כי לכיסוי יש תת-כיסוי סופי. מהגדרת ולפי הנחת המשפט מתקיים כי אינו כיסוי של המרחב (אחרת היה לו תת-כיסוי סופי לפי הנתון, בסתירה להגדרת ) לכן קיים שאינו מכוסה על ידי אף אחת מהקבוצות . כיוון ש- כיסוי קיימת קבוצה בסיסית (כאשר ) כך ש-. כיוון שאף קבוצה ב- אינה מכסה את נקבל כי לכל . מהמקסימליות של נקבל כי לכיסוי יש תת-כיסוי סופי. נסמן את תת-הכיסוי הסופי הזה ללא הקבוצה ב-, נגדיר ונקבל כי הוא כיסוי סופי לכל ולכן גם כיסוי סופי ולכן גם כיסוי סופי. אבל כיסוי סופי זה מוכל ב- ולכן הוא תת-כיסוי סופי של בסתירה להגדרה .
במסגרת אקסיומות ZF משפט טיכונוב שקול לאקסיומת הבחירה. כלומר מספיק להניח רק אחד מהם כדי להוכיח את השני. נניח שמשפט טיכונוב נכון. תהי משפחה של קבוצות לא ריקות, ונוכיח כי המכפלה אינה ריקה.
לכל נגדיר את הקבוצה להיות האיחוד הזר (פורמלית, ניתן להגדיר ). על נגדיר מבנה של מרחב טופולוגי, שבו אוסף הקבוצות הפתוחות הוא . כיוון שב- יש מספר סופי של קבוצות פתוחות, מרחב קומפקטי. נגדיר מרחב טופולוגי לפי טופולוגיית המכפלה. לכל נגדיר , שהיא קבוצה פתוחה ב-.
נניח בשלילה כי האוסף מכסה את . לפי משפט טיכונוב, קיים תת-כיסוי סופי . כיוון שכל הקבוצות אינן ריקות, ניתן לבחור לכל איבר . נשים לב כי בחרנו מספר סופי של איברים ולכן אין צורך להשתמש באקסיומת הבחירה. כעת נגדיר איבר לפי , כאשר כאן לא נעשתה שום בחירה. בבירור לכל ולכן , סתירה לכך ש- כיסוי של . מכאן שהנחת השלילה, כי מכסה את , אינה נכונה. לכן קיים איבר . מכאן שלכל מתקיים כי ולכן . בכך הוכחנו שהמכפלה אינה ריקה, כנדרש.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.