Loading AI tools
במתמטיקה, מבנה אלגברי של קבוצות מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, סיגמא-אלגברה על קבוצה היא משפחה של תת-קבוצות של , הכוללת את הקבוצה הריקה, וסגורה ללקיחת מַשְׁלִים ולאיחוד בן מנייה (ראו ההגדרה להלן). לדוגמה, אוסף הקבוצות המדידות במרחב מידה הוא סיגמא-אלגברה. השימוש בסיגמא-אלגברה נפוץ במיוחד בתורת הקבוצות, תורת המידה ואלגבראות בוליאניות.
סיגמא-אלגברה על קבוצה היא משפחה של תת-קבוצות של , המקיימת את התכונות הבאות:
משפחה שבה מתקיימות שתי התכונות הראשונות וגרסה חלשה של תכונה 3 (סגירות לאיחוד סופי, במקום לאיחוד בן מנייה) נקראת אלגברה של קבוצות; כל סיגמא-אלגברה היא אלגברה של קבוצות.
תכונות 2 ו-3 גוררות (באמצעות כללי דה מורגן) גם סגירות ביחס לחיתוך בן מנייה.
זוג סדור , כש- קבוצה ו- הוא -אלגברה מעל , נקרא מרחב מדיד. בצירוף פונקציית מידה השלשה הסדורה נקראת מרחב מידה.
סיגמא-אלגברה מגדירה על המרחב יחס שקילות, שבו אם ורק אם כל קבוצה ב- הכוללת את כוללת גם את . אם המרחב בן מנייה, מחלקות השקילות עצמן שייכות לאלגברה, ובמקרה כזה האלגברה מוגדרת באמצעותן (קבוצה שייכת לאלגברה אם ורק אם היא מהווה איחוד של מחלקות שקילות). מכאן נובע שכל מידה על מרחב בן מנייה היא אטומית.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.