פאי
קבוע מתמטי ליחס בין היקף מעגל לקוטרו / ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
במתמטיקה, (האות היוונית פִּי; בעברית מקובלת ההגייה פַּאי, על דרך האנגלית) הוא מספר חסר ממד המייצג את היחס הקבוע (בגאומטריה האוקלידית) בין היקף המעגל לקוטרו. הוא קבוע מתמטי שמופיע בנוסחאות רבות במתמטיקה ובפיזיקה. כבר בזמן הקדום ניסו אנשים לקבוע את ערכו של היחס בין היקף המעגל לקוטרו. המתמטיקאי היווני אנטיפון הציע את השיטה לחישוב הערך בערך בשנת 430 לפנה"ס, ומאוחר יותר שכלל אותה ארכימדס. במהלך השנים נמצאו נוסחאות נוספות לחישובו.
הוא מספר אי-רציונלי (ואף מספר טרנסצנדנטי), כלומר הוא אינו שווה ליחס בין שני מספרים שלמים. בשל כך, הייצוג העשרוני של כולל אינסוף ספרות אחרי הנקודה העשרונית, ללא מחזוריות קבועה. 100 הספרות הראשונות אחרי הנקודה בייצוג העשרוני הן:
אך לצרכים מעשיים ניתן להסתפק בדיוק נמוך יותר, ומקובל להסתפק בקירוב 3.14.
בערך זה |
האות היוונית משמשת כסמל שבו משתמשים לייצוג היחס בין היקף המעגל לקוטרו משום שזו האות הראשונה במילה היוונית "περίμετρος" (פרימטרוס) שמשמעותה היקף. השימוש המתועד הראשון של השימוש בסימון זה נמצא בספר "Synopsis Palmariorum Matheseos" (או "תצפית הישגי המתמטיקה") של המתמטיקאי הוולשי ויליאם ג'ונס מ-1706. בשימוש מתמטי, האות הקטנה מובדלת מהאות הגדולה , שמשמשת לציון מכפלה.
הוא מספר אי-רציונלי, כלומר אינו ניתן לכתיבה כיחס בין שני מספרים שלמים. תכונה זו הוכחה בשנת 1761 על ידי יוהאן היינריך למברט[1].
בשנת 1882 הוכיח פרדיננד לינדמן את משפט לינדמן-ויירשטראס ממנו נובע ישירות ש־ הוא מספר טרנסצנדנטי[2]. מהוכחה זו נובע ש־ אינו ניתן להצגה באמצעות שימוש במספר סופי של מספרים שלמים, שברים או שורשים שלהם יחד עם ארבע פעולות החשבון. כתוצאה מהוכחה זו נובע שלא ניתן, באמצעות בנייה בסרגל ובמחוגה, לבנות ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון – אחת הבעיות הגאומטריות של ימי קדם.
חישוב ערך מדויק יותר ויותר של היווה אתגר במשך מאות שנים.
קירובים ל- היו ידועים עוד בבבל ובמצרים העתיקה, אך ארכימדס הציג לראשונה שיטה המאפשרת לחשב את בכל רמת דיוק שתידרש (שיטת המיצוי). השיטה מתבססת על כך שהיקף המעגל קטן מהיקפו של מצולע החוסם את המעגל וגדול מהיקפו של מצולע החסום במעגל. באמצעות חישוב ההיקף של מצולע חוסם ומצולע חסום בעלי מספר הולך וגדל של צלעות נשיג דיוק גדל והולך של היקף המעגל, ובהתאם לכך דיוק גדל והולך של . ארכימדס הפעיל את שיטתו על משושה, ובהדרגה הכפיל את מספר הצלעות (תוך שימוש במצולעים משוכללים). מצולע בן 96 צלעות הביא את ארכימדס לתוצאה הבאה [3] (המופיעה בספר על המדידה של המעגל):
בתחילת המאה ה-15 חישב ג'אמשיד אל-קאשי, מתמטיקאי ואסטרונום פרסי, את בדיוק של 9 ספרות בבסיס סקסגסימלי, דיוק השקול ל־16 ספרות בבסיס עשרוני.
ההולנדי אדריאן אנטוניזון השיג במאה ה־16 דיוק בן שש ספרות אחרי הנקודה. הוא הציג את באמצעות השבר .
בשנת 1596 השתמש ההולנדי לודולף ואן צאולן בשיטתו של ארכימדס, וחישב את בדיוק של 20 ספרות, וכעבור שנים אחדות הגיע לדיוק של 35 ספרות. הוא היה כל כך גאה בהישג זה, עד שציווה לכתוב ספרות אלה על מצבתו. גם הגרמנים התרשמו מאוד מהישג זה, וקראו ל־ בשם מספר לודולף.
התפתחות החשבון האינפיניטסימלי במאה ה־17 הביאה שיטות חדשות לחישובו של . שיטות אלו מתבססות על ייצוגו של כסכום של טור אינסופי.
טכניקה לא שגרתית לחישובו של היא "שיטת מונטה־קרלו": על לוח עץ נצייר ריבוע שאורך צלעו שתי יחידות. נצייר מעגל חסום בריבוע זה (זהו מעגל שרדיוסו שווה ליחידה אחת), ונתחיל להטיל חיצים אל הריבוע (לא נכוון את החץ למרכז הריבוע, אלא אל הריבוע כולו, באופן אקראי). לאחר מספר רב של הטלות, היחס, בין מספר הפעמים שהחצים פגעו בתוך המעגל למספר הפעמים שבהם פגעו בתוך הריבוע, שואף ליחס שבין שטחי שתי הצורות, שהוא .
הדוגמה הראשונה לרעיון זה היא שיטת המחט של בופון: כאשר מטילים מחט על משטח שמצוירים עליו קווים ישרים מקבילים שהמרחק ביניהם שווה לאורך המחט, הסיכוי שהמחט תגע בקווים שווה ל־. ב־1777 ז'ורז' לואי לה קלרק, הרוזן בופון, ביצע את הניסוי כדי להעריך את ערכו של . הניסוי עורר את עניינם של המתמטיקאים בני התקופה, והביא לדיון ער בהבנת מושג ההסתברות.
בשנת 1789 חישב הסלובני יורי וגה (Jurij Vega) את 140 הספרות הראשונות של (רק 127 מתוכן היו נכונות)[4].
רמנוג'ן מצא נוסחאות רבות לפאי הנובעות מחישוב ערכים של פונקציות מודולריות, כגון , שהקירוב שהיא נותנת משתפר בכשמונה ספרות עשרוניות עם כל מחובר [5].
השתכללות המחשבים ומציאת אלגוריתמים יעילים יותר לחישובו של מאפשרים דיוק של מספר רב של ספרות. האלגוריתם המוביל הוא אלגוריתם צ'ודנובסקי. סיבוכיות האלגוריתם כדי לחשב ספרות היא . בנוסף נעזרים לבדיקת התוצאות באלגוריתמים המאפשרים חישוב ספרה מסוימת ללא צורך בפיתוח כל הספרות (נוסחת BBP[6]). השיא העולמי בחישוב הספרות של היה במרץ 2019 היה למעלה מ- ספרות. באוגוסט 2021 חושבו למעלה מ- ספרות[7]. תוצאות כאלו מפגינות את יעילותם של האלגוריתמים ושל מערכות המחשוב.
קירוב מקובל של כמספר עשרוני הוא 3.14. צורת שבר פשוטה המקרבת את , היא או . קירובים אלה מתלכדים עם ערכו האמיתי של בדיוק של שתי ספרות בלבד מימין לנקודה.
ההצגה של כשבר משולב פותחת ב־.
הצגה זו מספקת סדרה של קירובים, שהראשון מביניהם הוא הערך השלם 3, ואחריו באים:
(כדרכם של שברים משולבים, אלו קירובים אופטימליים, במובן הבא: מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 7, הקרוב ביותר ל- הוא ; מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 106, הקרוב ביותר ל- הוא ; וכן הלאה.)
רמנוג'אן הציע קירוב מסוג אחר ל-: . קירוב זה סוטה מערכו האמיתי של רק בספרה התשיעית מימין לנקודה העשרונית.
קירוב נוסף הוא , השווה בערך ל-3.146. קירוב זה סוטה מערך רק בספרה השלישית אחרי הנקודה העשרונית.
קירוב נוסף הוא השווה בערך ל-3.1418. קירוב זה סוטה מערך רק בספרה הרביעית אחרי הנקודה העשרונית.
קירוב נוסף הוא , השווה בערך ל-3.1413. קירוב זה סוטה מערך רק בספרה הרביעית אחרי הנקודה העשרונית.
במקרא בספר מלכים א' (פרק ז', פסוק כ"ג) (מתוארך למאה השישית לפנה"ס) יש התייחסות (לא מדויקת) להיקף המעגל, לפיה היחס הוא אחד לשלושה, ”ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו עד שפתו עגול סביב וחמש באמה קומתו וקוה (קרי: וקו) שלושים באמה יסוב אותו סביב”. ההסבר הרווח לאי-הדיוק הניכר הוא שדרכו של המקרא היא לעגל מספרים, כך שאין ללמוד מכך על תפיסת הערך המדויק של בזמנם, או בהסבר שמדובר בקוטר חיצוני ובהיקף פנימי. בנוסף, יש המסבירים זאת בכך שכלי זה לא היה עיגול מושלם עקב העדר טכנולוגיה מתאימה לביצוע מדויק, כלומר ים הנחושת היה אליפטי.[דרוש מקור]
יש שציינו שהיחס בין הקבוע ובין המספר 3 המובא בפסוק – יחס השווה בקירוב למספר 1.04719, נרמז בקרי וכתיב של המילה שנכתבת קוה ונקראת קו; היחס בין הגימטריה של המילה קוה (111) לשל המילה קו (106) הוא בקירוב 1.04716, שנותן תוצאה נכונה עד כדי ארבע ספרות אחר הנקודה. הדבר הנרמז כאן הוא שעל אף שלמעשה היה ראוי לכתוב את המספר המלא של הקבוע , לצורך נוחות הקריאה נכתב רק העיגול של המספר. בנוסף, היו שניסו לתת פרשנויות אחרות[8].
במשנה במסכת עירובין (פ"א מ"ה) נשנה הכלל: "כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח", כלומר היקף המעגל הוא פי שלושה מהקוטר (3=). כלל זה בא לידי ביטוי גם במסכת סוכה (דף ז'-ח') שם עוסקת הגמרא בממדיה של סוכה עגולה, ומביאה קירובים שונים להיקף המעגל ואורך האלכסון של ריבוע. גם התוספות במסכת סוכה (ח, א) מתייחסים אל כשווה ל-3. באופן זה במסכת בבא בתרא (י"ג: – ט"ו.) מחושב היחס בין היקפו של האורך של ספר התורה לבין רוחבו, וגם שם הגמרא מתייחסת ל- כשווה ל-3. מפרשים שונים עמדו על הפער בין ה- כפי שהוא מנוסח בימינו, לבין שיעור חכמים, והסבירו כי דברי חכמים מכוונים להלכות מעשיות, ולכן הביאו מידת קירוב לשימוש האדם ביום יום - וכי לא הייתה כוונתם כלל לעסוק בדיוק החשבוני [9]
בעלי התוספות, ראב"ע וראשונים נוספים מפנים לברייתא של מ"ט מידות שבה נמצא ערך מדויק יותר ל-. בברייתא ההיא נאמר בין היתר "...לפי שאמרו בני ארץ, בעגולה שהסביבה (ההיקף) מחזקת שלוש פעמים ושביע בחוט (ביחס לקוטר)"[10]. הרי שאף על פי שייתכן והיה ידוע ערך טוב יותר ל-, לא ראו החכמים צורך להתייחס אליו מבחינה הלכתית.
הרמב"ם, בן המאה ה-12, הביא, בפירושו למשנה, כי "צריך אתה לדעת שיחס קוטר העיגול להיקפו בלתי ידוע, ואי אפשר לדבר עליו לעולם בדיוק, ואין זה חסרון ידיעה מצדנו כמו שחושבים הסכלים, אלא שדבר זה מצד טבעו בלתי נודע ואין במציאותו שייוודע. אבל אפשר לשערו בקירוב"[11]. בשפת ימינו ניתן להבין את דבריו של הרמב"ם כמשקפים את הטענה ש־ הוא מספר אי־רציונלי. דברים דומים נאמרו גם על ידי כמה מתמטיקאים מוסלמים קודמים לרמב"ם, כגון אל-חוואריזמי ואל-בירוני[12].