קבוצה קומפקטית
מושג בטופולוגיה (מתמטיקה) / ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
קבוצה קומפקטית היא תת-קבוצה של מרחב טופולוגי, שלכל כיסוי פתוח שלה קיים תת-כיסוי סופי. אם המרחב הטופולוגי כולו מקיים את התכונה הזו, הוא נקרא מרחב קומפקטי.
יש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. | |
מושג הקומפקטיות מכליל תכונות שמתקיימות על ידי קבוצות סגורות וחסומות במרחבים מטריים, כדוגמת הקטע בישר הממשי. כדי להכליל את המושג של קטע סגור וחסום למרחבים טופולוגיים שאינם מטריים, משתמשים בעובדה שתכונות רבות של הקטעים הסגורים נובעות ישירות מכך שאם מכסים קטע סגור בקטעים פתוחים, מובטח שקיים מספר סופי של קטעים מבין אלה המשתתפים בכיסוי המכסה את הקטע הנתון.
קומפקטיות היא תכונה בעלת חשיבות יסודית באנליזה מתמטית, משום שמשפטים חשובים הנוגעים לפונקציות רציפות בקטע סגור, כגון משפט קנטור על רציפות במידה שווה ומשפטי ויירשטראס, תקפים גם עבור פונקציות ממשיות שהן רציפות בקבוצה קומפקטית.
במרחב מטרי, כל קבוצה קומפקטית היא סגורה וחסומה. משפט היינה-בורל קובע שבמרחבים האוקלידיים , גם ההפך נכון: כל קבוצה סגורה וחסומה במרחב כזה היא קומפקטית.