מרחב טופולוגי וקבוצה אינסופית של מספרים ממשיים שמהווה פרקטל

<span class="mw-page-title-main">קבוצת קנטור</span>

קבוצת קנטור

<p>ב<a href="/he/מתמטיקה" title="מתמטיקה" class="wl">מתמטיקה</a>, <b>קבוצת קנטור</b> היא <a href="/he/קבוצה_(מתמטיקה)" title="קבוצה (מתמטיקה)" class="wl">קבוצה</a> שנבנית בצורה ה<a href="/he/איטרציה" title="איטרציה" class="wl">איטרטיבית</a> הבאה: מתחילים מ<a href="/he/קטע_(מתמטיקה)" title="קטע (מתמטיקה)" class="wl">קטע</a> ישר. מסירים מהקטע את השליש המרכזי שלו, ומקבלים שני קטעים קטנים יותר. על כל אחד מהם, מבצעים את אותה פעולה (הסרת השליש האמצעי). מבצעים את אותה פעולה על ארבעת הקטעים שנותרו, וכך הלאה עד <a href="/he/אינסוף" title="אינסוף" class="wl">אינסוף</a>. קבוצת קנטור היא קבוצת הנקודות שלא הוסרו באף אחד משלבי הבניה.</p>

<div class='mobile-collapse'><header class="mobile-collapse-header mobile-collapse-btn"><b>Table info: ...</b> <span class='arrow'>▼</span></header> <table cellpadding="1" style="float: left; clear:both; border: 1px solid #8888aa; background: #f7f8ff; padding: 5px; font-size: 95%; margin: 0.5em 1em 0.5em 0.5em;" class="mobile-collapse-element notheme">
<tbody><tr><td style="text-align: center;"><span><a href="/he/סימון_מתמטי" title="סימון מתמטי" class="image wl"><img loading="lazy" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/60px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png" decoding="async" data-file-width="128" data-file-height="128" data-file-type="drawing" height="60" width="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/90px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/120px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png 2x" alt="Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg"></a></span>
<p>בערך זה<br>נעשה שימוש<br>בסימנים מוסכמים<br>מתחום המתמטיקה.<br>להבהרת הסימנים<br>ראו <a href="/he/סימון_מתמטי" title="סימון מתמטי" class="wl">סימון מתמטי</a>.</p></td></tr>
</tbody></table> <footer class='mobile-collapse-footer mobile-collapse-btn'><b>Close</b> <span class='arrow'>▲</span></footer></div>
<p>קבוצה זו התגלתה בשנת <a href="/he/1874" title="1874" class="wl">1874</a> בידי ה<a href="/he/מתמטיקאי" title="מתמטיקאי" class="wl">מתמטיקאי</a> <span class="new">הנרי ג'ון סטיבן סמית'</span><small class="noprint" dir="rtl" about="#mwt2" typeof="mw:Transclusion" data-mw="{&quot;parts&quot;:[{&quot;template&quot;:{&quot;target&quot;:{&quot;wt&quot;:&quot;אנ&quot;,&quot;href&quot;:&quot;./תבנית:אנ&quot;},&quot;params&quot;:{&quot;1&quot;:{&quot;wt&quot;:&quot;Henry John Stephen Smith&quot;}},&quot;i&quot;:0}}]}">(<a href="/en/Henry%20John%20Stephen%20Smith" title="en:Henry John Stephen Smith" class="extiw wl">אנ'</a>)</small><span class="mw-ref reference" id="cite_ref-1"><a href="#cite_note-1" style="counter-reset: mw-Ref 1;"><span class="mw-reflink-text">[1]</span></a></span> ותוארה בידי ה<a href="/he/מתמטיקאי" title="מתמטיקאי" class="wl">מתמטיקאי</a> <a href="/he/גאורג_קנטור" title="גאורג קנטור" class="wl">גאורג קנטור</a> בשנת <a href="/he/1883" title="1883" class="wl">1883</a>.<span class="mw-ref reference" id="cite_ref-2"><a href="#cite_note-2" style="counter-reset: mw-Ref 2;"><span class="mw-reflink-text">[2]</span></a></span> חשיבותה הרבה היא בתכונותיה המיוחדות, שסותרות את ה<a href="/he/אינטואיציה" title="אינטואיציה" class="wl">אינטואיציה</a> ומדגימות את מורכבותו של ה<a href="/he/אינסוף" title="אינסוף" class="wl">אינסוף</a>. תופעות כגון אלה עודדו את קנטור לפתח את <a href="/he/תורת_הקבוצות" title="תורת הקבוצות" class="wl">תורת הקבוצות</a>.</p>

<p>קבוצת קנטור מחדדת את משמעותם של מושגי ה<a href="/he/עוצמה_(מתמטיקה)" title="עוצמה (מתמטיקה)" class="wl">עוצמה</a> וה<a href="/he/מידה_(מתמטיקה)" title="מידה (מתמטיקה)" class="wl">מידה</a>, מושגים שהם <a href="/he/הכללה_(מתמטיקה)" title="הכללה (מתמטיקה)" class="wl">הכללות מתמטיות</a> למושגים "<a href="/he/מספר" title="מספר" class="wl">כמות</a> איברים" ו"<a href="/he/אורך" title="אורך" class="wl">אורך</a>" (בהתאמה), שהם שני מאפיינים המהווים מדד לגודלה של קבוצה. באופן אינטואיטיבי ניתן לצפות שככל שקבוצה ארוכה יותר יהיו בה יותר איברים, ובפרט, שבקבוצה שאורכה <a href="/he/0_(מספר)" title="0 (מספר)" class="wl">0</a> יהיו פחות איברים מאשר בקבוצה שאורכה 1 - אך אין הדבר כך. קבוצת קנטור היא בעלת מידה (אורך) אפס, אך יש בה אינסוף איברים; למעשה מספר האיברים שלה שווה למספר האיברים בקטע המקורי כולו (ובפרט, יש בה כל-כך הרבה איברים עד שלא ניתן לסדרם ב<a href="/he/סדרה_(מתמטיקה)" title="סדרה (מתמטיקה)" class="wl">סדרה</a>, כלומר יותר איברים מאשר <a href="/he/מספר_טבעי" title="מספר טבעי" class="wl">מספרים טבעיים</a>).</p>

<p>מבחינה <a href="/he/טופולוגיה" title="טופולוגיה" class="wl">טופולוגית</a>, קבוצת קנטור מאופיינת בכך שהיא ה<a href="/he/מרחב_מטרי" title="מרחב מטרי" class="wl">מרחב המטרי</a> ה<a href="/he/מרחב_קומפקטי" title="מרחב קומפקטי" class="mw-redirect wl">קומפקטי</a> ה<a href="/he/קבוצה_מושלמת" title="קבוצה מושלמת" class="mw-redirect wl">מושלם</a> היחיד (<a href="/he/עד_כדי_(מתמטיקה)" title="עד כדי (מתמטיקה)" class="wl">עד כדי</a> <a href="/he/הומיאומורפיזם" title="הומיאומורפיזם" class="wl">הומיאומורפיזם</a>) שהוא <a href="/he/מרחב_לא_קשיר_לחלוטין" title="מרחב לא קשיר לחלוטין" class="mw-redirect wl">לא קשיר לחלוטין</a>. אחת התכונות הטופולוגיות החשובות של קבוצה זו היא שכל מרחב מטרי קומפקטי מהווה תמונה <a href="/he/פונקציה_רציפה" title="פונקציה רציפה" class="mw-redirect wl">רציפה</a> שלה.</p>

<figure class="mw-halign-center wiki-thumb"><a href="/he/קובץ:Cantor_set_in_seven_iterations.svg" class="mw-file-description image media-thumb" data-hash="קובץ:Cantor_set_in_seven_iterations.svg"><img loading="lazy" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Cantor_set_in_seven_iterations.svg/600px-Cantor_set_in_seven_iterations.svg.png" decoding="async" data-file-width="729" data-file-height="118" data-file-type="drawing" height="97" width="600" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Cantor_set_in_seven_iterations.svg/900px-Cantor_set_in_seven_iterations.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Cantor_set_in_seven_iterations.svg/1200px-Cantor_set_in_seven_iterations.svg.png 2x" alt="Cantor_set_in_seven_iterations.svg"></a><figcaption>איור המציג את שבעת השלבים הראשונים בבניית קבוצת קנטור</figcaption></figure>



במתמטיקה, קבוצת קנטור היא קבוצה שנבנית בצורה האיטרטיבית הבאה: מתחילים מקטע ישר. מסירים מהקטע את השליש המרכזי שלו, ומקבלים שני קטעים קטנים יותר. על כל אחד מהם, מבצעים את אותה פעולה . מבצעים את אותה פעולה על ארבעת הקטעים שנותרו, וכך הלאה עד אינסוף. קבוצת קנטור היא קבוצת הנקודות שלא הוסרו באף אחד משלבי הבניה. קבוצה זו התגלתה בשנת 1874 בידי המתמטיקאי הנרי ג'ון סטיבן סמית'  חשיבותה הרבה היא בתכונותיה המיוחדות, שסותרות את האינטואיציה ומדגימות את מורכבותו של האינסוף. תופעות כגון אלה עודדו את קנטור לפתח את תורת הקבוצות. קבוצת קנטור מחדדת את משמעותם של מושגי העוצמה והמידה, מושגים שהם הכללות מתמטיות למושגים "כמות איברים" ו"אורך" , שהם שני מאפיינים המהווים מדד לגודלה של קבוצה. באופן אינטואיטיבי ניתן לצפות שככל שקבוצה ארוכה יותר יהיו בה יותר איברים, ובפרט, שבקבוצה שאורכה 0 יהיו פחות איברים מאשר בקבוצה שאורכה 1 - אך אין הדבר כך. קבוצת קנטור היא בעלת מידה אפס, אך יש בה אינסוף איברים; למעשה מספר האיברים שלה שווה למספר האיברים בקטע המקורי כולו . 