Loading AI tools
הומומורפיזם מהחבורה. מושג בתורת החבורות ותורת ההצגות מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, קרקטר (כפלי) הוא הומומורפיזם מחבורה אל החבורה הכפלית של שדה המספרים המרוכבים, ובאופן כללי יותר אל החבורה הכפלית של שדה כלשהו. קרקטר אל תת-החבורה הכפלית נקרא קרקטר אוניטרי.
השימוש החשוב ביותר לקרקטרים הוא באנליזה הרמונית. כך, הדוגמה היסודית לקרקטרים הם האקספוננטים המוגדרים לכל . כפי שידוע מאנליזת פורייה הממשית, משפחת הפונקציות הזו צפופה במרחב ומאפשרת להגדיר התמרת פורייה מעל מרחב זה. ברוח זו, המושג הכללי של קרקטרים מאפשר להכליל את אנליזת פורייה הממשית לאנליזת פורייה מעל חבורות אחרות. שימוש חשוב נוסף לקרקטרים הוא בתורת המספרים, באמצעות בניית קרקטר דיריכלה.
יש לשים לב קרקטרים של הצגות של חבורות, כפי שמופיעים בטבלת הקרקטרים הם בדרך כלל אינם קרקטרים כפליים.
חשיבותם של קרקטרים נובעת בין השאר מכך שהם מהווים חבורה אבלית ביחס לכפל נקודתי. כלומר, בהינתן שדה , אם היא משפחת כל הקרקטרים (הומומורפיזמים) מהצורה , אז יש עליה מבנה של חבורה כפלית באמצעות הפעולה .
יתרה מזו, אם היא משפחת כל הפונקציות מהצורה עם מבנה טבעי של מרחב וקטורי מעל , אז היא תת-מרחב ליניארי שלו שאיבריו בלתי תלויים ליניארית, כלומר: לכל אוסף סופי של קרקטרים שונים , אם מקיימים כי , אז בהכרח .
עבור כל קרקטר , הערך של הקרקטר הוא על כל איברי תת-חבורת הקומוטטורים של . לכן חבורת הקרקטרים של איזומורפית לחבורת הקרקטרים של החבורה האבלית .
במקרה ש- היא חבורה טופולוגית, קרקטר הוא הומומורפיזם רציף מהצורה . ידוע כי אם חבורה אבלית וקומפקטית מקומית אז הקרקטרים שלה מפרידים נקודות, כלומר: לכל שונים, יש קרקטר רציף שמקיים . לכן ממשפט סטון-ויירשטראס תחת תנאים לא מחמירים נובע כי חבורת הקרקטרים צפופה בתוך מרחב הפונקציות הרציפות מהצורה שיש להן תומך קומפקטי.
לחבורה טופולוגית אבלית וקומפקטית מקומית מתרחשת תופעה של דואליות, לפיה חבורת הקרקטרים של חבורת הקרקטרים של , היא למעשה עצמה. כלומר יש איזומורפיזם טבעי . איזומורפיזם זה מתקבל על ידי שהיא ההערכה .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.