תורת ההומולוגיה
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
הומולוגיה של מרחב טופולוגי היא טכניקה ללמידת אוסף תכונות ומאפיינים שונים של מרחבים טופולוגיים. בדומה להומוטופיה, הומולוגיה מודדת שינויים רציפים על פני מרחבים טופולוגיים תחת מעברים שונים. לכל מרחב טופולוגי מתאימה סדרה של חבורות אבליות, , שכל אחת מהן נושאת מידע מסוים על המרחב X.
יש לשכתב ערך זה. ייתכן שהערך מכיל טעויות, או שהניסוח וצורת הכתיבה שלו אינם מתאימים. | |
ההומולוגיה של מרחב טופולוגי גם מאפשרת להבדיל בין מרחבים שונים: למרחבים הומיאומואפיים ואף שקולים הומוטופית אותה ההומולוגיה. במילים אחרות, חבורות ההומולוגיה הן "אינווריאנטים טופולוגיים והומוטופיים". למרות המידע הרב שמספקות חבורות ההומולוגיה, הן אינן מזהות באופן מלא את המרחב - ובאופן כללי ייתכנו מרחבים טופולוגיים לא שקולים בעלי אותן חבורות הומולוגיה; בכל זאת, למשפט וייטהד יש מקבילה הומולוגית, בעזרת משפט הורוויץ.
האינווריאנט ההומולוגי הראשון והפשוט ביותר, החבורה , סופרת את מספר מרכיבי הקשירות המסילתית של המרחב. החבורה הבאה, , איזומורפית באופן טבעי אל האבליניזציה של החבורה היסודית של המרחב.
לחישוב ההומולוגיה של מרחב טופולוגי מספר שיטות. הנפוצה והבסיסית ביניהן היא סדרת מאייר-ויאטוריס, המקשרת את ההומולוגיה של מרחב טופולוגי להומולוגיה של כיסוי טוב שלו, ומקבילה במובן מסוים למשפט ואן קמפן בחישוב החבורה היסודית. בעזרתה גם ניתן לפתח שיטה אלגוריתמית לחישוב מחלקה גדולה של מרחבי CW סוף-ממדיים.