גרופואיד

במתמטיקה, גרופואיד (נקרא גם חבורואיד) הוא קטגוריה קטנה שכל המורפיזמים שלה הם איזומורפיזמים, כלומר הפיכים (מימין ומשמאל).

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

הגדרה

ביתר פירוט, גרופואיד ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ הוא קטגוריה המורכבת מקבוצה של עצמים ${\displaystyle X}$ ואוסף מורפיזמים (הנקראים "חצים") ביניהם ${\displaystyle A}$ עם 2 העתקות ${\displaystyle s,t:A\to X}$ הנקראות source (מקור) ו-target (מטרה) כך שלכל חץ (מורפיזם) ${\displaystyle f:x\to y}$

${\displaystyle s(f)=s(x\to y)=x}$ ו-${\displaystyle t(f)=t(x\to y)=y}$.

לכן, אפשר לתאר חץ כמורפיזם מ-${\displaystyle x}$ ל-${\displaystyle y}$. סימון מקובל לחץ הוא

${\displaystyle f:x\to y}$ או ${\displaystyle x{\stackrel {f}{\longrightarrow }}y}$.

בגרופואיד, כמו כל קטגוריה, קיימת הרכבה של חצים. הרכבה של ${\displaystyle f}$ ו-${\displaystyle g}$ מוגדרת כאשר ${\displaystyle s(g)=t(f)}$ ואז ${\displaystyle g\circ f:s(f)\to t(g)}$ הוא חץ (מורפיזם) בקטגוריה. למעשה, ההרכבה היא פעולת כפל עם תחום שהוא מכפלת הסיב

${\displaystyle A\times _{X}A=\left\{(f,g)\in A\times A\mid t(f)=s(g)\right\}}$

וטווח שהוא ${\displaystyle A}$. הרכבה זו היא פעולה אסוציאטיבית: אם ההרכבה של ${\displaystyle f,g,h\in A}$ מוגדרת אזי מתקיים ${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$.

ישנו גם שיכון של ${\displaystyle X}$ בתוך ${\displaystyle A}$ המתאים לכל אובייקט ${\displaystyle x\in X}$ את מורפיזם הזהות ${\displaystyle 1_{x}}$ שמקיים את התכונות המצופות מזהות: לכל ${\displaystyle f:w\to x}$ מתקיים ${\displaystyle 1_{x}\circ f=f}$ ולכל ${\displaystyle g:x\to y}$ מתקיים ${\displaystyle g\circ 1_{x}=g}$.

לבסוף, אנו דורשים שכל חץ הוא הפיך, כלומר אם ${\displaystyle f:x\to y}$ הוא חץ בקטגוריה, אז קיים החץ ההפכי ${\displaystyle f^{-1}:y\to x}$ כך שמתקיים ${\displaystyle f^{-1}\circ f=1_{x}}$ ו-${\displaystyle f\circ f^{-1}=1_{y}}$.

את הגרופואיד מסמנים ${\displaystyle {\mathcal {G}}:A\rightrightarrows X}$ או ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\left[A\rightrightarrows X\right]}$.

דוגמאות

חבורה היא גרופואיד עם עצם אחד ${\displaystyle X=\{x\}}$ ולכן כל חץ הוא מהצורה ${\displaystyle f:x\to x}$ וכל החצים ב-A ניתנים להרכבה זה עם זה. קיים איבר יחידה והוא ${\displaystyle 1_{x}}$. לכל חץ ${\displaystyle f}$ יש הפכי ${\displaystyle f^{-1}}$, ולכן זהו גרופואיד.

דוגמה טיפוסית: הקטגוריה שהאובייקטים שלה הם תת-הקבוצות של קבוצה קבועה, והמורמפיזמים הם התאמות חד-חד-ערכיות ועל בין תת-קבוצות. כשמקודדים את התכונות של קטגוריות כאלה לאקסיומות, מתקבלת הגדרה לאובייקט הקרוי גרופואיד אינדוקטיבי; גרופואידים אלה מתאימים באופן טבעי לחבורות למחצה הפיכות.

עוד דוגמה: גרופואיד פעולה ${\displaystyle G\times X\rightrightarrows X}$ - האובייקטים שלו הם איברי קבוצה ${\displaystyle X}$ שחבורה ${\displaystyle G}$ פועלת עליה, והחצים ניתנים על ידי ${\displaystyle x\to g\cdot x}$ לכל ${\displaystyle x\in X,g\in G}$, כלומר: כל חץ הוא זוג סדור ${\displaystyle (g,x)}$ כך ש-${\displaystyle (g,x):x\to g\cdot x}$. קל לראות שכל חץ הוא הפיך ו-${\displaystyle (g,x)^{-1}=(g^{-1},g\cdot x)=g\cdot x\to g^{-1}\cdot (g\cdot x)=x}$.

תכונות

ב-1929 הוכיח H.Brandt שכל גרופואיד קשיר הוא קטגוריה שבה האובייקטים הם קבוצה ${\displaystyle X}$ והמורפיזמים מ-${\displaystyle a}$ ל-${\displaystyle b}$ נמצאים בהתאמה לאברים של חבורה קבועה, ${\displaystyle G}$. "אלגברת החבורה" של גרופואיד כזה היא אלגברת מטריצות מעל אלגברת החבורה של ${\displaystyle G}$.

ראו גם

בעבר התייחסה המלה גרופואיד לקבוצה עם פעולה בינארית כלשהי; אובייקט זה מכונה היום מאגמה.

לקריאה נוספת

• The algebraic theory of semigroups, A. H. Clifford, G. B. Preston.

קישורים חיצוניים

• גרופואיד, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• גרופואיד, באתר MathWorld (באנגלית)