גרף רגולרי

בתורת הגרפים, גרף רגולרי (באנגלית: Regular graph) הוא גרף שבו דרגת כל הקודקודים שווה, כלומר מספר הקשתות היוצאות מכל קודקוד קבוע. גרף מכוון רגולרי מקיים תנאים חזקים יותר ובו דרגת הכניסה ודרגת היציאה של כל הקודקודים שוות.^[1] כלומר ${\displaystyle d^{+}(i)=d^{-}(i)=k}$ לכל קודקוד ${\displaystyle i}$.

גרף ${\displaystyle 2}$-רגולרי

גרף רגולרי שבו דרגת כל הקודקודים היא ${\displaystyle k}$ נקרא גרף ${\displaystyle k}$-רגולרי או גרף רגולרי מדרגה ${\displaystyle k}$.

לדוגמה, ${\displaystyle K_{n}}$ (גרף שלם בעל ${\displaystyle n}$ קודקודים) הוא גרף ${\displaystyle (n-1)}$-רגולרי.

אם ${\displaystyle k}$ אי-זוגי, נובע מלמת לחיצות הידיים שבגרף ${\displaystyle k}$-רגולרי יהיו מספר זוגי של קודקודים.

הייחודיות של הגרפים הרגולריים טמונה בעובדה שסדרת הדרגות שלהם קבועה.

תכונות אלגבריות

נסמן ב-${\displaystyle A}$ את מטריצת הסמיכויות של הגרף ${\displaystyle G}$. ${\displaystyle G}$ הוא גרף ${\displaystyle k}$-רגולרי אם ורק אם ${\displaystyle {\textbf {j}}=(1,\dots ,1)}$ הוא וקטור עצמי של ${\displaystyle A}$ ששייך לערך העצמי ${\displaystyle k}$.^[2]

יהיו ${\displaystyle \lambda _{0}>\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{n-1}}$ הערכים העצמיים של ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle G}$ גרף ${\displaystyle k}$-רגולרי אם ורק אם מתקיים ${\displaystyle k=\lambda _{0}}$ ו-${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}\lambda _{i}^{2}=n\lambda _{0}}$ (כאשר ${\displaystyle n}$ הוא מספר הצמתים ב-${\displaystyle G}$).^[2]

גרף רגולרי הוא קשיר אם ורק אם לערך העצמי ${\displaystyle k=\lambda _{0}}$ יש ריבוי אלגברי 1.^[3] הטענה ניתנת להכללה: מספר הרכיבים הקשירים של הגרף שווה לריבוי האלגברי של הערך העצמי ${\displaystyle k=\lambda _{0}}$.^[2]

גרף רגולרי-חזק

גרף פטרסן הוא דוגמה לגרף רגולרי מדרגה 3 (אנ') - שהוא גם גרף רגולרי-חזק

גרף רגולרי-חזק הוא גרף רגולרי שבו לכל זוג של קודקודים שכנים (כלומר, יש בין הקודקודים קשת) יש ${\displaystyle \lambda }$ שכנים משותפים, ולכל זוג קודקודים לא שכנים יש ${\displaystyle \mu }$ שכנים משותפים.

גרף רגולרי-חזק לעיתים מסומן ב-${\displaystyle srg(v,k,\lambda ,\mu )}$ (${\displaystyle v}$ מסמן את מספר הקודקודים בגרף, ${\displaystyle k}$ מסמן את הדרגה המשותפת לכל הקודקודים).

לדוגמה, גרף פטרסן (אנ') הוא גרף רגולרי-חזק שבו ${\displaystyle 10}$ קודקודים, דרגת כל הצמתים היא ${\displaystyle 3}$, לכל זוג של קודקודים שכנים אין אף שכן משותף ולכל זוג קודקודים לא שכנים יש שכן משותף בודד. כלומר, ניתן לסמן אותו כך: ${\displaystyle srg(10,3,0,1)}$.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא גרף רגולרי בוויקישיתוף

• גרף רגולרי, באתר MathWorld (באנגלית)
• גרף רגולרי-חזק, באתר MathWorld (באנגלית)