גרף של פונקציה

גרף של פונקציה הוא אוסף כל הזוגות הסדורים של משתנה מסוים עם ערך הפונקציה המתאים לו, כלומר גרף הפונקציה אמור להתבסס על פי שתי אותיות [X+Y] המסמנות את הגרף עצמו. בתרגיל מסוים של משוואות ה-x תקדים את ה-y עבור פונקציה מסוימת. לרוב הכוונה היא לציור של אוסף זה בתור נקודות במישור לפי מערכת צירים קרטזית, אולם צורת הצגה זו אפשרית רק עבור פונקציות ממשיות במשתנה יחיד; עם זאת, מושג הגרף קיים גם עבור פונקציות במספר משתנים.

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במערכת צירים דו־ממדית את ציר איברי תחום הפונקציה לרוב נהוג לסמן כ-${\displaystyle X}$ ואת ציר איברי הטווח נהוג לסמן כ-${\displaystyle Y}$. בנקודה (זוג סדור) בגרף במערכת צירים דו־ממדית, האיבר הראשון (שיעור X של הנקודה) בזוג נקרא גם אבסציסה (Abscissa) והשני (שיעור Y) נקרא גם אורדינטה (Ordinate).

הגדרה פורמלית

בהינתן פונקציה ${\displaystyle \ f}$ שתחומה ${\displaystyle \ D}$, גרף הפונקציה היא הקבוצה של הזוגות הסדורים ${\displaystyle \ \left\{(x,f(x))|x\in D\right\}}$.

נשים לב כי עבור פונקציה ממשית ב-${\displaystyle \ n}$ משתנים, גרף הפונקציה הוא תת-קבוצה של המרחב האוקלידי ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n+1}}$. המקרה הפרטי המוכר הוא זה של פונקציה במשתנה יחיד, אז הגרף הוא תת-קבוצה של המישור – ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{2}}$.

דוגמאות

דוגמה לתרשים גרף של פונקציה ${\displaystyle \ f(x)=x^{3}-9x}$

• ישר – גרף שמייצג פולינום ממעלה ראשונה (${\displaystyle \ y=mx+n}$) שיפועו, כלומר טנגנס הזווית שלו עם ציר ה-${\displaystyle \ X}$, הוא ${\displaystyle \ m}$ והוא חותך את ציר ה-${\displaystyle \ Y}$ בנקודה ${\displaystyle \ n}$.
• פרבולה – מייצגת פולינום ממעלה שנייה. נראית כמעין קשת מתרחבת (${\displaystyle \ y=ax^{2}+bx+c}$ כאשר a אינו אפס) אם ${\displaystyle \ a}$ חיובי הפרבולה פתוחה כלפי מעלה (כלומר קמורה) ואם הוא שלילי, אז היא פתוחה כלפי מטה (קעורה).
• היפרבולה – מייצגת פונקציה מהסוג ${\displaystyle f(x)=a/x+b}$

נקודות מיוחדות על גרפים של פונקציות ממשיות:

• מינימום ומקסימום – הנקודות הגבוהות והנמוכות ביותר בסביבה כלשהי של הנקודה, כלומר ערכי ה-${\displaystyle \ y}$ הגדולים והקטנים ביותר יחסית לסביבתם בהתאמה. אם הפונקציה גזירה בנקודות אלו – הנגזרת תתאפס.
• נקודת פיתול – נקודת מעבר מקמירות לקעירות.
• נקודות אפס:

1. כאשר הגרף חותך את ציר ה-X. כדי למצוא אותו משווים את הפונקציה ל-0.
2. כאשר הגרף חותך את ציר ה-Y. כדי למצוא אותו מציבים בפונקציה X=0.

• נקודת שאיפה – נקודה ב-X שלא מוגדר לה Y ולכן הפונקציה שואפת אליה משני צדדיה (כגון אסימפטוטות בהיפרבולה), או נקודה ב-Y שהפונקציה לא תגיע אליה מעולם אבל שואפת אליה. רלוונטי לדוגמה בפונקציות בהן X נמצא במכנה- נקודת השאיפה היא הנקודה בה תוצאת המכנה שווה ל-0.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא גרף של פונקציה בוויקישיתוף

• יישום ג'אווה שמאפשר לשרטט גרפים של פונקציות
• מציאת נקודות על גרפים, באתר לרגו (LerGO)
• גרף של פונקציה, באתר MathWorld (באנגלית)