חזקה של נקודה

בגאומטריה, חזקה של נקודה (או דרגה של נקודה) ביחס למעגל נתון בעל רדיוס r היא הגודל ${\displaystyle h=s^{2}-r^{2}}$, כאשר s הוא מרחק הנקודה ממרכז המעגל. החזקה מוגדרת כאשר הנקודה נמצאת במישור של המעגל. החזקה של נקודות הנמצאות מחוץ למעגל היא מספר חיובי, בתוכו שלילי, ועל המעגל - 0.

החזקה שווה למכפלת אורכי הקטעים המתקבלים מחיתוך ישר דרך הנקודה עם המעגל, כאשר מכוונים את הקטעים כראוי, ואינה תלויה בבחירת הישר. בשרטוט, החזקה היא המכפלה ${\displaystyle h=|PM|\cdot |PN|=|PA|\cdot |PB|}$. המושג נטבע ונחקר על ידי יאקוב שטיינר.

הגדרות ותכונות נוספות

אם הנקודה מחוץ למעגל, החזקה שלה שווה לריבוע אורך המשיק למעגל היוצא ממנה. עובדה זו נובעת מכך שכל משיק למעגל ניצב לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן המשולש PTO הוא ישר-זווית. לכן, על פי משפט פיתגורס: ${\displaystyle |PT|^{2}+|TO|^{2}=|PO|^{2}}$.

אם הנקודה בתוך המעגל, החזקה שלה שווה לרבע מריבוע אורך המיתר שעובר דרכה ושניצב לרדיוס שעובר דרכה. עובדה זו נובעת מכך שכל רדיוס חוצה כל מיתר שניצב לו (ושוב תוך שימוש במשפט פיתגורס).

אוסף כל הנקודות בעלות אותה חזקה מהווה מעגל שמרכזו מתלכד עם מרכז המעגל המקורי.

שימושים

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

ניתן להשתמש בחזקה כדי להגדיר מקומות גאומטריים הקשורים למעגל. לדוגמה, הציר הרדיקלי של זוג מעגלים הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שהחזקות שלהן ביחס לשני המעגלים שוות זו לזו.

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: חזקה של נקודה

• חזקה של נקודה, באתר MathWorld (באנגלית)
• יאקוב שטיינר וחזקה של נקודה (באנגלית)
• חזקת נקודה באתר נבחרת ישראל במתמטיקה