הלמה של לינדלף

בטופולוגיה, הלמה של לינדלף היא למה הקובעת שמרחב מנייה שנייה הוא מרחב לינדלף.

ערך מחפש מקורות

הלמה היא ניסוח כללי יותר של העיקרון לפיו כל קבוצה פתוחה בישר הממשי היא איחוד בן-מנייה של קטעים פתוחים.

הוכחת הלמה

יהי ${\displaystyle X}$ מרחב מנייה שנייה, ויהי ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ כיסוי פתוח של ${\displaystyle X}$. נראה שקיים לו תת-כיסוי בן מנייה. מהנתון, קיים ל-${\displaystyle X}$ בסיס בן מנייה ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{B_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$. לכל ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ נבחר איזושהי קבוצה בכיסוי ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ המכילה את ${\displaystyle B_{n}}$, אם ישנה. נסמן את אוסף הקבוצות שהתקבל ב-${\displaystyle {\mathcal {U}}'}$. הוא בן מנייה מעצם בנייתו, ונראה כעת שהוא כיסוי של ${\displaystyle X}$. אכן, תהי ${\displaystyle x\in X}$. מהגדרת הכיסוי, קיימת איזושהי ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ כך ש-${\displaystyle x\in U}$. זהו כיסוי פתוח, ולכן מהגדרת בסיס קיים ${\displaystyle n}$ עבורו ${\displaystyle x\in B_{n}\subseteq U}$. אבל, מבניית ${\displaystyle {\mathcal {U}}'}$ יש איזושהי קבוצה בו המכילה את ${\displaystyle B_{n}}$ (ייתכן שזו ${\displaystyle U}$, אמנם זה לא משנה) ולכן היא מכילה גם את ${\displaystyle x}$. מכך נקבל ש-${\displaystyle {\mathcal {U}}'}$ תת-כיסוי בן מנייה כנדרש. ${\displaystyle \blacksquare }$

קבוצות פתוחות בישר הממשי

הלמה של לינדלף בגרסתה הממשית, קובעת כי כל קבוצה פתוחה ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} }$ היא איחוד בן-מנייה של קטעים פתוחים, שכן כל ${\displaystyle x\in U}$ מוכל באיזה קטע ממשי ${\displaystyle x\in I_{x}\subset U}$ בעל קצוות רציונליים. היות שיש מספר בן-מניה של קטעים ממשיים בעלי קצוות רציונליים, ניתן לבחור ל-${\displaystyle U}$ כיסוי בן-מניה של קטעים פתוחים.