מספר טבעי

במתמטיקה, המספרים הטבעיים הם המספרים 0, 1, 2, 3, וכו' עד אינסוף, לעיתים ללא המספר אפס. יש המגדירים את הטבעיים בתור המספרים השלמים האי-שליליים, 0,1,2,3..., בעוד שאחרים מתחילים מ־1, ומגדירים אותם בתור המספרים השלמים החיוביים 1,2,3... . יש מחברים שמתייחסים לשתי ההגדרות, לפי הצורך. מקובל לסמן את קבוצת המספרים הטבעיים באות ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

המספרים הטבעיים הם הקלים ביותר להבנה, והראשונים שנלמדים על ידי ילדים. למספרים טבעיים שתי מטרות:

• מנייה, למשל: יש שלושה תפוחים על השולחן.
• סדר, למשל: זו העיר השלישית בגודלה במדינה.

תכונותיהם של המספרים הטבעיים נחקרות במסגרת תורת המספרים.

מספרים טבעיים יכולים להיות זוגיים (כלומר מתחלקים ב-2 ללא שארית) או אי-זוגיים (אינם מתחלקים ב-2).

קבוצת המספרים הטבעיים היא אינסופית ובת מנייה, כלומר עוצמתה היא${\displaystyle \!\,\aleph _{0}}$ (אָלֶף אֶפֶס).

הגדרה ובנייה

המספרים הטבעיים הם הראשונים שהופיעו כמושגים נבדלים: מספר טבעי מונה את האיברים בקבוצה. אפשר לראות את ההבחנה שיש משהו משותף בקבוצה של שלושה אנשים, שלושה תפוחים או שלושה נמרים כהכללה המתמטית הראשונה שעשו בני האנוש (ישנם מחקרים המראים שגם לבעלי חיים מסוימים יש יכולת הכללה זו). לאופולד קרונקר אמר ש"האל יצר את המספרים הטבעיים – כל השאר הוא יציר האדם".

במסגרת היציקה המודרנית של המתמטיקה לשפת תורת הקבוצות, הציע הלוגיקאי גוטלוב פרגה שהמספר שלוש הוא, בפשטות, קבוצת כל הקבוצות שיש בהן שלושה איברים (היינו, שהאיברים שלהן נמצאים בהתאמה לקבוצה מסוימת בת שלושה איברים). בגישה זו יש פרדוקסים, הנובעים מכך שאוסף כל הקבוצות הוא מקור לפרדוקסים מחמת גודלו, ואינו יכול להוות קבוצה בפני עצמו (ראו פרדוקס קנטור).

הבניה של מערכת פאנו מאפשרת לקבוע שמספר טבעי הוא איבר של מערכת פאנו (כל המודלים של אקסיומות פאנו הם איזומורפיים).

פון נוימן הציע בנייה מפורשת, המקובלת היום כייצוג סטנדרטי של המספרים הטבעיים בתוך תורת הקבוצות האקסיומטית: המספר 0 מוגדר כקבוצה הריקה, וכל מספר ${\displaystyle \ n}$ מוגדר כקבוצה ${\displaystyle \ n=\{0,1,\dots ,n-1\}}$. כך למשל, ${\displaystyle \ 4=\{0,1,2,3\}=\{\phi ,\{\phi \},\{\phi ,\{\phi \}\},\{\phi ,\{\phi \},\{\phi ,\{\phi \}\}\}\}}$.

סדר על המספרים הטבעיים

ניתן להגדיר על המספרים הטבעיים יחס סדר אשר מגדיר באופן חד-ערכי את היחסים "גדול מ-" ו"קטן מ-". בהינתן שני מספרים טבעיים ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$ אומרים כי ${\displaystyle n}$ גדול מ-${\displaystyle m}$ ומסמנים ${\displaystyle n>m}$ אם ורק אם קיים מספר טבעי ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ שונה מ-0 כך ש-${\displaystyle n=m+k}$. באופן דומה אומרים כי ${\displaystyle n}$ קטן מ-${\displaystyle m}$ ומסמנים ${\displaystyle n<m}$ אם ורק אם ${\displaystyle m>n}$.

היחס ${\displaystyle >}$ על המספרים הטבעיים הוא יחס סדר מלא. כלומר, עבור כל שני מספרים טבעיים כלשהם ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$ מתקיים בדיוק אחד משלושת התנאים הבאים:

1. ${\displaystyle n>m}$
2. ${\displaystyle m>n}$
3. ${\displaystyle n=m}$

יתרה מכך, היחס ${\displaystyle >}$ הוא יחס סדר טוב. כלומר, לכל תת-קבוצה לא ריקה של המספרים הטבעיים ${\displaystyle \emptyset \neq B\subseteq \mathbb {N} }$ בהכרח קיים מינימום.

הוכחה ש-${\displaystyle >}$ הוא יחס סדר טוב:

בהינתן ש-${\displaystyle B}$ אינה ריקה, בהכרח קיים ${\displaystyle n\in B}$ כלשהו. מגדירים קבוצה ${\displaystyle B_{<n}:=\left\{m\in B\mid m<n\right\}}$. אם ${\displaystyle B_{<n}}$ ריקה, בהכרח ${\displaystyle n}$ הוא האיבר הקטן ביותר ב-${\displaystyle B}$. אחרת ${\displaystyle B_{<n}}$ היא בהכרח קבוצה סופית, זאת מכיוון שבקבוצת המספרים הטבעיים, קבוצת המספרים הקטנה ממספר כלשהו היא בהכרח סופית. אם כך, ${\displaystyle B_{<n}}$ היא קבוצה סופית סדורה בסדר מלא ${\displaystyle >}$, ולכן יש לה איבר קטן ביותר, נסמנו ב-${\displaystyle n'}$. ${\displaystyle n'}$ זה הוא האיבר המינימלי ב-${\displaystyle B}$.

מספרים טבעיים ראשוניים ופריקים

מספרים ראשוניים ופריקים

בתורת המספרים, מספר ראשוני הוא מספר טבעי גדול מ-1, שלא ניתן להציגו כמכפלה של בדיוק שני מספרים טבעיים קטנים ממנו. הראשוניים הם אבני הבניין של תורת המספרים, משום שאפשר להרכיב מהם, באמצעות פעולת הכפל, כל מספר טבעי.

מספר טבעי גדול מ-1 שאינו ראשוני נקרא מספר פריק.

המספר 1 אינו נחשב ראשוני, וגם לא פריק.

לפי "המשפט היסודי של האריתמטיקה", שהוצג לראשונה עם הוכחה, על ידי אוקלידס, כל מספר טבעי גדול מ-1 אפשר להציג באופן יחיד כמכפלה של מספרים ראשוניים (למשל: ${\displaystyle \ 28=7\times 2\times 2}$).

ראו גם

• היסטוריה של האריתמטיקה – על ייצוגם של מספרים טבעיים בתרבויות שונות