הפרש סימטרי

הפרש סימטרי היא פעולה בינארית על קבוצות. עבור שתי קבוצות ${\displaystyle A,B}$ היא מחזירה קבוצה ${\displaystyle C}$ המורכבת מכל איברי ${\displaystyle A}$ שלא שייכים ל-${\displaystyle B}$ וכל איברי ${\displaystyle B}$ שלא שייכים ל-${\displaystyle A}$ – כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.

דיאגרמת ון של ההפרש הסימטרי של A ו-B. הפרש סימטרי הוא האיחוד ללא החיתוך:
${\displaystyle ~\setminus ~}$ ${\displaystyle ~=~}$

הגדרה

ההפרש הסימטרי, המסומן ${\displaystyle \triangle }$ מוגדר כדלהלן:

${\displaystyle A\,\triangle \,B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}$

תכונות

• קומוטטיביות: ${\displaystyle A\,\triangle \,B=B\,\triangle \,A}$
• אסוציאטיביות: ${\displaystyle (A\,\triangle \,B)\,\triangle \,C=A\,\triangle \,(B\,\triangle \,C)}$

פעולת ההפרש הסימטרי היא המקבילה בתורת הקבוצות לפעולת ה-XOR באלגברה בוליאנית.

אם ${\displaystyle X}$ קבוצה, אז קבוצת החזקה ${\displaystyle P(X)}$, עם הפעולות חיתוך (בתפקיד 'כפל') והפרש סימטרי (בתפקיד 'חיבור'), מהווה חוג קומוטטיבי, המקיים בנוסף את התכונה ${\displaystyle x^{2}=x}$ לכל ${\displaystyle x}$.

ראו גם

• הפרש של קבוצות
• איחוד (מתמטיקה)
• חיתוך (מתמטיקה)
• תורת הקבוצות - מונחים
• XOR

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא הפרש סימטרי בוויקישיתוף

• הפרש סימטרי, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.