הפרש (תורת הקבוצות)

בתורת הקבוצות, הפרש של שתי קבוצות ${\displaystyle A}$ ו־${\displaystyle B}$ הוא הקבוצה שמכילה את כל איברי ${\displaystyle A}$ שלא שייכים ל־${\displaystyle B}$. קבוצה זו מסומנת ב־${\displaystyle A-B}$ או ב־${\displaystyle A\setminus B}$:

${\displaystyle A-B=\left\{x\ |\ x\in A,x\notin B\right\}=A\cap B^{c}}$

דיאגרמת ון של הקבוצה ${\displaystyle A-B}$

פעולה ההפרש איננה קיבוצית או חילופית. פעולת ההפרש מקבילה ל"וגם לא" הלוגי. (מדובר באוסף האיברים השייכים לקבוצה ${\displaystyle A}$ ולא שייכים לקבוצה ${\displaystyle B}$)

דוגמה

יהיו:

${\displaystyle \mathbb {N} }$ – קבוצת המספרים הטבעיים

${\displaystyle \mathbb {N} _{\text{even}}}$ – קבוצת המספרים הטבעיים הזוגיים

${\displaystyle \mathbb {N} _{\text{odd}}}$ – קבוצת המספרים הטבעיים האי־זוגיים

אזי:

${\displaystyle \mathbb {N} -\mathbb {N} _{\text{even}}=\mathbb {N} _{\text{odd}}}$

${\displaystyle \mathbb {N} -\mathbb {N} _{\text{odd}}=\mathbb {N} _{\text{even}}}$

${\displaystyle \mathbb {N} _{\text{odd}}-\mathbb {N} _{\text{even}}=\mathbb {N} _{\text{odd}}}$

תכונות

${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)}$

${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)}$

${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B)}$

${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)}$

${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)}$

${\displaystyle A\setminus A=\emptyset }$

${\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset }$

${\displaystyle A\setminus \emptyset =A}$

${\displaystyle A\setminus U=\emptyset }$

קישורים חיצוניים

• הפרש, באתר MathWorld (באנגלית)