התפלגות היפרגאומטרית

התפלגות היפרגאומטרית היא התפלגות של המשתנה המקרי הבדיד הסופר את ההוצאות המוצלחות (ללא החזרה וללא חשיבות סדר) שיצאו בקבוצה חלקית, כאשר ידוע מספר ההצלחות האפשריות בסדרת הניסויים כולה. הסימון ${\displaystyle \ X\sim HG(N,D,n)}$ מתאר שהמשתנה המקרי ${\displaystyle \ X}$מתפלג היפרגאומטרית עם הפרמטרים ${\displaystyle D}$,${\displaystyle N}$ ו-${\displaystyle n}$, אם הוא סופר את מספר ההצלחות ב-${\displaystyle n}$ הניסויים הראשונים (ללא החזרה) מתוך ${\displaystyle N}$, כשידוע שבסדרת הניסויים כולה היו ${\displaystyle D}$ הצלחות פוטנציאליות.

התפלגות היפרגאומטרית

מאפיינים
פרמטרים	${\displaystyle N\in 0,1,2,3,\dots \,}$ ${\displaystyle D\in 0,1,\dots ,N\,}$ ${\displaystyle n\in 0,1,\dots ,N\,}$
פונקציית הסתברות (pmf)	${\displaystyle {{{D \choose k}{{N-D} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}}$
תוחלת	${\displaystyle nD \over N}$
סטיית תקן	${\displaystyle {\sqrt {n(D/N)(1-D/N)(N-n) \over (N-1)}}}$
שונות	${\displaystyle n(D/N)(1-D/N)(N-n) \over (N-1)}$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	${\displaystyle {\frac {N-D \choose n}{N \choose n}}\,_{2}F_{1}(-n,\!-D;\!N\!-\!D\!-\!n\!+\!1;\!e^{t})}$
צידוד	${\displaystyle {\frac {(N-2D)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nD(N-D)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}}$
גבנוניות	${\displaystyle \left[{\frac {N^{2}(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}}\right]}$ ${\displaystyle \cdot \left[{\frac {N(N+1)-6N(N-n)}{D(N-D)}}\right].}$

כך לדוגמה, התפלגות זו מתארת את מספר הכדורים הלבנים שמתקבלים כאשר מוציאים ${\displaystyle n}$ כדורים מכד שיש בו ${\displaystyle N}$ כדורים, ומתוכם יש ${\displaystyle D}$ כדורים לבנים.

ההסתברות לכך ש- ${\displaystyle \ X=k}$ היא ${\displaystyle P\left(X=k\right)={\frac {{D \choose k}{N-D \choose n-k}}{N \choose n}}}$.

שם ההתפלגות

היחס ${\displaystyle {\frac {P\left(X=k+1\right)}{P\left(X=k\right)}}={\frac {(D-k)(n-k)}{(k+1)(N-D-n+k+1)}}}$ מבטא סדרה היפרגאומטרית, ומכאן שמה של ההתפלגות.

דוגמאות ויישומים

אחת הדוגמאות הנפוצות לשימוש בהתפלגות היפרגאומטרית היא הוצאת כדורים מכד ללא החזרה.

בדוגמה ישנו כד עם D כדורים בצבע א' ו-S כדורים בצבע ב' ומוציאים n כדורים מהכד ללא החזרה, כדי לחשב את המשתנה המקרי של מס' הכדורים מצבע א' שייצאו מהכד יש להציב את הנתונים בנוסחה כאשר ${\displaystyle N=D+S}$, ושאר הנתונים בהתאמה.

התפלגויות קשורות

	עם החזרה	בלי החזרה
מספר הצלחות מתוך מספר הוצאות	התפלגות בינומית	התפלגות היפרגאומטרית
מספר הוצאות עד מספר הצלחות	התפלגות בינומית שלילית	התפלגות היפרגאומטרית שלילית

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא התפלגות היפרגאומטרית בוויקישיתוף

• התפלגות היפרגאומטרית, באתר MathWorld (באנגלית)
• התפלגות היפרגאומטרית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)