שאלות נפוצות
ציר זמן
צ'אט
פרספקטיבה

טנזור מאמצים

מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

טנזור מאמצים
Remove ads

טנזור המאמצים (נקרא גם טנזור המאמצים של קושי, על שם אוגוסטן לואי קושי) מתאר את המאמצים על פני קובייה קטנה של החומר הנתון בעומס חיצוני, שנהוג לייצגו על ידי מטריצה בת תשעה רכיבים (3 על 3). טנזור המאמצים מרכז את מאמצי המתיחה, הלחיצה והגזירה, הפועלים על נקודה חומרית בגוף. טנזור המאמצים מקשר בין וקטור כיוון באורך יחידה e לווקטור גרירה T(e) הפועל על מישור דמיוני הניצב ל-e:

Thumb
טנזור המאמצים
Thumb
טנזור המאמצים בתיאור אינדקסים כללי

מילולית, האיבר בטנזור מייצג את המאמץ המופעל בכיוון ציר j על פאה שהניצב לה מקביל לכיוון ציר i. אם i=j (איבר על האלכסון הראשי) אז הווקטור הניצב לפאה וכיוון הכוח מתלכדים, ולכן זהו מאמץ נורמלי או מאמץ לחיצה/מתיחה. אם i שונה מ-j האיבר מייצג כוח הפועל על פאה במקביל אליה, ולכן מייצג מאמץ גזירה. לפי עקרון שימור התנע הזוויתי, על מנת שקובייה תימצא במנח קבוע במרחב צריך להתקיים שסכום המומנטים הפועלים עליה ביחס לנקודה שרירותית יהיה אפס, מה שמוביל למסקנה שטנזור המאמצים סימטרי, ולפיכך יש לו ששה רכיבי מאמץ בלתי תלויים, במקום תשעת המקוריים.

על מנת שהקובייה תימצא בשיווי משקל מכני (כלומר בעלת תאוצה קווית אפס) דרוש תנאי נוסף על ההשתנות המרחבית של טנזור המאמצים, המגלם את התנאי ששקול הכוחות מתאפס. פורמלית, התנאי קובע ש-, כאשר הוא שקול הכוחות החיצוניים ליחידת נפח, הפועלים על הקובייה. למשל, בגזירת משוואת שיווי המשקל ההידרוסטטי הכוח החיצוני הרלוונטי הוא כוח הכבידה.

טנזור המאמצים של קושי משמש בניתוח מאמצים גופים חומריים הנתונים למעוותים קטנים; זהו מושג מפתח בתאוריית האלסטיות הליניאריות. עבור מעוותים גדולים יותר, המכונים גם מעוותים סופיים, מדדים מורכבים יותר נדרשים.

Remove ads

טנזור המאמצים

סכם
פרספקטיבה

משווי משקל מקבלים מטריצה סימטרית ובה 6 רכיבים שונים. מתקיים השוויון בין הרכיבים:

לכן:

טנזור המאמצים הוא טנזור סימטרי ותמיד אפשר להציג אותו כסכום של שני טנזורים סימטריים שהם:

  • טנזור ממוצע או מאמצים הידרוסטטי הכולל מאמצי מתיחה או לחיצה בלבד
  • טנזור מאמצי גזירה הכולל מאמצי גזירה בלבד.
Remove ads

תיאור כללי

סכם
פרספקטיבה

התיאור הכללי של טנזור המאמצים נעשה באמצעות אינדקסים 1,2,3

x1
y2
z3
σxxσ11
τxyσ12
τxzσ13
...

ונקבל:

את חוק הוק אפשר להציג באמצעות המינוח הזה של האינדקסים בצורה הבאה:

Remove ads

תורת היחסות

Thumb
טנזור מאמץ-אנרגיה יחסותי ורכיביו

בתורת היחסות טנזור המאמצים הוא חלק מטנזור 4 על 4 הנקרא טנזור צפיפות האנרגיה או טנזור המאמץ-אנרגיה ומסומן (כאשר ): זהו טנזור סימטרי שכולל את צפיפות האנרגיה, שטף האנרגיה, תנע ואת טנזור מאמצים (תת-מערך בגודל 3 על 3). טנזור זה מופיע במשוואת השדה של איינשטיין (כאשר הוא טנזור איינשטיין) המתארת את עקמומיות המרחב-זמן כתלות בהתפלגות צפיפות האנרגיה, המסה, התנע והלחץ במרחב-זמן.

ראו גם

לקריאה נוספת

  • Timoshenko S.P, Strength of Materials, 3rd edition, Krieger Publishing Company, 1976. ISBN 0882754203
  • S.P. Timoshenkoo & J.N. Goodier Theory of Elasticity, 3rd edition, International Student Edition, McGraw-Hill 1970..
  • Shames I.H., Cozzarelli F.A., Elastic and inelastic stress analysis, Prentice-Hall, 1991, ISBN 1560326867
  • Love, A. E. H. (4 ed.). (1944). Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. Dover Publications. ISBN 0486601749.
  • Marsden, J. E., & Hughes, T. J. R. (1994). Mathematical Foundations of Elasticity. Dover Publications. ISBN 0486678652.

Remove ads

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא טנזור מאמצים בוויקישיתוף


ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.
Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads