מודל הדיסק של פואנקרה

בגאומטריה, מודל הדיסק של פואנקרה, הנקרא גם מודל הדיסק הקונפורמי, הוא מודל של גאומטריה היפרבולית דו-ממדית שבו כל הנקודות נמצאות בתוך דיסק היחידה הפתוח, וקווים ישרים הם קשתות מעגליות הכלולות בתוך הדיסק שהן אורתוגונליות לדיסק היחידה, או קטרים של מעגל היחידה.

דיסק פואנקרה עם קווים מקבילים היפרבוליים

יחד עם מודל בלטראמי-קליין ומודל חצי-המרחב של פואנקרה, המודל הוצע לראשונה על ידי אאוג'ניו בלטראמי שהשתמש במודלים אלה כדי להראות שהגאומטריה ההיפרבולית עקבית יחד עם הגאומטריה האוקלידית (כלומר, גאומטריה היפרבולית היא עקבית אם ורק אם הגאומטריה האוקלידית עקבית). המודל נקרא על שמו של אנרי פואנקרה, מכיוון שגילויו מחדש של הייצוג הזה ארבע עשרה שנים מאוחר יותר הפך להיות ידוע יותר מהיצירה המקורית של בלטראמי.^[1]

מודל הכדור של פואנקרה הוא המודל הדומה עבור גאומטריה היפרבולית בת n ממדים (3 ממדים או יותר), שבו נקודות הגאומטריה נמצאות בכדור יחידה n- ממדי.

היסטוריה

מודל הדיסק הוצג לראשונה על ידי ברנהרד רימן בהרצאה משנת 1854 (שפורסמה ב-1868), אשר שימשה השראה למאמר מ-1868 של בלטראמי.^[2] המודל זכה לפרסום נרחב בעקבות הצגתו של פואנקרה את המודל בחיבורו הפילוסופי, "מדע והיפותזה" משנת 1905.^[3] שם הוא מתאר עולם, הידוע כיום כדיסק פואנקרה, שבו המרחב היה אוקלידי, אבל נראה ליושביו כממלא את האקסיומות של הגאומטריה ההיפרבולית:

נניח, למשל, עולם מוקף בכדור גדול וכפוף לחוקים הבאים: הטמפרטורה אינה אחידה; היא הגבוהה ביותר במרכז הכדור, ויורדת בהדרגה ככל שאנו מתקדמים לכיוון היקף הכדור, שם היא אפס מוחלט. החוק של טמפרטורה זו הוא כדלקמן: אם ${\displaystyle R}$ הוא הרדיוס של הכדור, ו ${\displaystyle r}$ המרחק של נקודה כלשהי מהמרכז, הטמפרטורה המוחלטת תהיה פרופורציונלית ל ${\displaystyle R^{2}-r^{2}}$...

אם הם בונים גאומטריה, היא לא תהיה כמו שלנו, שהיא חקר תנועות המוצקים הבלתי משתנים שלנו; היא תהיה המחקר של שינויי מיקום שהם יובדלו בכך, ויהיו 'תזוזות לא אוקלידיות', וזו תהיה גאומטריה לא אוקלידית. כך שליצורים כמונו, שהתחנכו בעולם כזה, לא תהיה אותה גאומטריה כמו שלנו."

— ^[4]

הדיסק של פואנקרה הווה עדות חשובה להשערה שהבחירה בגאומטריה מרחבית (כאשר הבחירה באותם זמנים הייתה הגאומטריה האוקלידית והיא בלבד), היא קונבנציונלית ולא עובדתית. גישתו של פואנקרה הייתה בעלת חשיבות מרכזית בדיונים הפילוסופיים המשפיעים של רודולף קרנפ^[5] ושל הנס רייכנבאך.^[6]

קווים ומרחק

דיסק Poincaré עם 3 קווים ישרים אולטרה-מקבילים (היפרבוליים).

קווים ישרים היפרבוליים, או גיאודזים, מורכבים מכל הקשתות של מעגלים אוקלידיים הכלולים בתוך הדיסק, שהם אורתוגונלים לגבול הדיסק, בתוספת כל הקטרים של הדיסק.

המרחקים במודל זה הם מרחקי קיילי-קליין: בהינתן שתי נקודות נפרדות p ו-q בתוך הדיסק, הקו ההיפרבולי הייחודי המחבר אותן חוצה את השפה בשתי נקודות אידיאליות, a ו-b . נסדר אותן כך שהנקודות יהיו לפי הסדר, a, p, q, b, כלומר כך ש: ${\displaystyle |aq|>|ap|,|pb|>|qb|}$ . המרחק ההיפרבולי בין p ל-q הוא אז:^[7]

$${\displaystyle d(p,q)=\ln {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}.}$$

הפסים האנכיים בנוסחה מציינים את האורך האוקלידי של קטע הקו המחבר את הנקודות ביניהן במודל (לא לאורך קשת המעגל); ln הוא הלוגריתם הטבעי.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מודל הדיסק של פואנקרה בוויקישיתוף

• מודל הדיסק של פואנקרה, באתר MathWorld (באנגלית)