מונוטוניות (משחק מיקוח)

בתורת המשחקים, מונוטוניות היא תכונה שניתן לדרוש מפתרון למשחק מיקוח. במשחק מיקוח ישנם שני צדדים המנהלים ביניהם משא ומתן. פתרון למשחק הוא דרך לבחור בכל משחק מיקוח תוצאה מסוימת מתוך אוסף התוצאות האפשריות. באופן אינטואיטיבי, פתרון הוא מונוטוני כאשר הוספה של תוצאות נוספות למשחק לא מרעה את מצבם של השחקנים.

הגדרה פורמלית

פתרון הוא פונקציה המתאימה לכל משחק מיקוח ${\displaystyle \left(S,d\right)}$ איבר באוסף התוצאות האפשריות ${\displaystyle S}$. נסמן את הרווח המקסימלי ששחקן 1 יכול לקבל ב-${\displaystyle m_{1}\left(S\right)}$ ואת הרווח המקסימלי ששחקן 2 יכול לקבל ב-${\displaystyle m_{2}\left(S\right)}$. נקודת האוטופיה היא ${\displaystyle \left(m_{1}\left(S\right),m_{2}\left(S\right)\right)}$.

• נאמר כי פתרון ${\displaystyle f}$ מקיים את עיקרון המונוטוניות המלאה אם לכל שני משחקי מיקוח ${\displaystyle \left(S,d\right)}$ ו-${\displaystyle \left(T,d\right)}$ כך ש-${\displaystyle S\subseteq T}$ מתקיים כי ${\displaystyle f\left(S,d\right)\leq f\left(T,d\right)}$.
• נאמר כי פתרון ${\displaystyle f}$ מקיים את עיקרון המונוטוניות המוגבלת אם לכל שני משחקי מיקוח ${\displaystyle \left(S,d\right)}$ ו-${\displaystyle \left(T,d\right)}$ בהם:

א. ${\displaystyle S\subseteq T}$

ב. ${\displaystyle m_{1}\left(S\right)=m_{1}\left(T\right)}$

ג. ${\displaystyle m_{2}\left(S\right)=m_{2}\left(T\right)}$

מתקיים כי ${\displaystyle f\left(S,d\right)\leq f\left(T,d\right)}$.

מונוטוניות ופתרון נאש

פתרון נאש למשחקי מיקוח לא בהכרח מקיים מונוטוניות. קלעי וסמורודינסקי הדגימו זאת על ידי צמד המשחקים הבא: הקבוצה ${\displaystyle S_{1}}$ היא הקמור של הנקודות ${\displaystyle \left(0,1\right),\left(1,0\right),\left(0.75,0.75\right),\left(0,0\right)}$. הקבוצה ${\displaystyle S_{2}}$ היא הקמור של הנקודות ${\displaystyle \left(0,1\right),\left(1,0\right),\left(1,0.7\right),\left(0,0\right)}$. נקודת אי-ההסכמה היא ${\displaystyle d=\left(0,0\right)}$. במקרה זה מתקיימים התנאים הדרושים למונוטוניות מוגבלת: (א) ${\displaystyle S_{1}\subseteq S_{2}}$, (ב) ${\displaystyle m_{1}\left(S_{1}\right)=m_{1}\left(S_{2}\right)=1}$, (ג) ${\displaystyle m_{2}\left(S_{1}\right)=m_{2}\left(S_{2}\right)=1}$.

פתרון נאש למשחק המוגדר על ידי ${\displaystyle S_{1}}$ הוא ${\displaystyle {\mathcal {N}}\left(S_{1},d\right)=\left(0.75,0.75\right)}$. פתרון נאש למשחק המוגדר על ידי ${\displaystyle S_{2}}$ הוא ${\displaystyle {\mathcal {N}}\left(S_{2},d\right)=\left(1,0.7\right)}$. אם כן, אף על פי ש-${\displaystyle S_{1}\subseteq S_{2}}$, מצבו של שחקן 2 הורע במעבר מ-${\displaystyle S_{1}}$ ל-${\displaystyle S_{2}}$.

אפיון פתרון מונוטוני

כיוון שפתרון נאש אינו בהכרח מונוטוני, עלה הצורך למצוא אפיון חלופי לפתרונות מונוטוניים. לשם כך נגדיר את העקרונות הבאים:

• הומוגניות - פתרון ${\displaystyle f}$ הוא הומוגני אם לכל משחק מיקוח ${\displaystyle S}$ ולכל קבוע חיובי ${\displaystyle c}$ מתקיים כי ${\displaystyle f\left(cS\right)=cf\left(S\right)}$.
• סבירות פרטית חזקה - פתרון ${\displaystyle f}$ מקיים את עקרון הסבירות הפרטית החזקה בכל שחק מיקוח ${\displaystyle S}$ שני השחקנים מרוויחים ממש ביחס לנקודת האי-הסכמה, כלומר, ${\displaystyle f\left(S\right)>>\left(0,0\right)}$.

לכל זווית ${\displaystyle x}$ בין 0° ל-90° מוגדר פתרון תלוי זווית ${\displaystyle f_{x}}$ באופן הבא: ${\displaystyle f_{x}\left(S\right)}$ היא הנקודה הגבוהה ביותר ב-${\displaystyle S}$ הנמצאת על הישר היוצא מראשית הצירים בזווית ${\displaystyle x}$. פתרון כזה מקיים הומוגניות, יעילות, סבירות פרטית חזקה ומונוטוניות מלאה. קלעי הוכיח כי כל פתרון המקיים את ארבעת העקרונות האלה שווה לפתרון תלוי זווית כלשהי.

אם מחליפים חלק מהדרישות מתקבל פתרון אחר הנקרא פתרון קלעי סמורודינסקי. קלעי וסמורודינסקי הוכיחו כי קיים פתרון יחיד המקיים סימטריה, יעילות, קווריאנטיות תחת טרנספורמציות אפיניות ומונוטוניות מוגבלת. פתרון זה מסומן ב-${\displaystyle {\mathcal {KS}}}$ ומתקבל על ידי הנקודה הגבוהה ביותר ב-${\displaystyle S}$ הנמצאת על הקו המחבר את נקודת האי-הסכמה עם נקודת האוטופיה. הנקודה ${\displaystyle {\mathcal {KS}}\left(S\right)}$ נקראת נקודת ההסכמה של קלעי וסמורודינסקי.

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946
• Kalai, Ehud; Smorodinsky, Meir (1975). "Other solutions to Nash's bargaining problem". Econometrica. 43 (3): 513–518. doi:10.2307/1914280.