מטריצה אנטי-סימטרית

במתמטיקה, במיוחד באלגברה ליניארית, מטריצה אנטי-סימטרית (באנגלית: Anti-Symmetric Matrix או Skew-Symmetric Matrix)^[1][2] היא מטריצה ריבועית שהשחלוף שלה שווה לשלילה שלה. כלומר, הוא מקיים את התנאי^[3]:

${\displaystyle A^{\top }=-A}$

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במונחי הרכיבים של המטריצה, אם ${\textstyle a_{ij}}$ מציין את הערך בשורה ה־${\textstyle i}$ ובעמודה ה־${\textstyle j}$, אז תנאי האנטי-סימטריות שווה ערך ל־

${\displaystyle \forall i,j:a_{ji}=-a_{ij}}$

תכונות

• אוסף המטריצות האנטי-סימטריות הוא מרחב וקטורי. בפרט, הסכום של שתי מטריצות אנטי סימטריות הוא מטריצה אנטי סימטרית, וכל כפולה בסקלר של מטריצה אנטי סימטרית היא מטריצה אנטי סימטרית.
• כאשר השדה ממאפיין שונה מ-2:
  • הממד של מרחב המטריצות האנטי סימטריות הוא ${\displaystyle n(n-1)/2}$.
  • הרכיבים באלכסון הראשי של מטריצה אנטי סימטרית הם כולם אפס, ובפרט העקבה שלה שווה לאפס.
• הערכים העצמיים של מטריצה ממשית אנטי-סימטרית הם מספרים מרוכבים טהורים (כלומר, כפולות ממשיות של היחידה המרוכבת i).
• בפרט, אם ${\textstyle A}$ היא מטריצה אנטי סימטרית ממשית ${\textstyle I+A}$ היא מטריצה הפיכה, כאשר ${\textstyle I}$ היא מטריצת היחידה.
• אם ${\textstyle A}$ היא מטריצה אנטי סימטרית ${\textstyle A^{2}}$ היא מטריצה סימטרית שלילית (negative indefinite).
• מעל שדה ממאפיין 2, אין הבדל בין מטריצות אנטי-סימטריות למטריצות סימטריות.

שימושים

מכפלה וקטורית

ניתן להשתמש במטריצות אנטי סימטריות של שלוש על שלוש כדי לייצג פעולת מכפלה וקטורית ככפל מטריצות. בהינתן וקטורים ${\textstyle \mathbf {a} =\left(a_{1}\ a_{2}\ a_{3}\right)^{\top }}$ ו-${\textstyle \mathbf {b} =\left(b_{1}\ b_{2}\ b_{3}\right)^{\top }}$, מוגדרת המטריצה:

${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}}$

ניתן לכתוב את פעולת המכפלה הווקטורית בתור

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} }$

ניתן לאמת זאת בקלות על ידי חישוב שני הצדדים של המשוואה הקודמת והשוואה של כל רכיב תואם של התוצאות.

הגדרת מטריצת סיבוב

בהינתן ${\displaystyle {\vec {\phi }}}$, וקטור סיבוב, מטריצת הסיבוב ${\displaystyle R}$ המתאימה תהיה:^[4]

${\displaystyle R=e^{-[\phi ]_{x}}}$

הכללות

ערך זה עוסק במטריצות שהן אנטי-סימטריות ביחס לפעולת השחלוף. באופן דומה מגדירים איברים אנטי-סימטריים ביחס לאינוולוציה הסימפלקטית של מטריצות, או לכל אינוולוציה אחרת.

ראו גם

• מטריצה סימטרית

לקריאה נוספת

• Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63946-8.
• Aitken, A. C. (1944). "On the number of distinct terms in the expansion of symmetric and skew determinants". Edinburgh Math. Notes. 34: 1–5. doi:10.1017/S0950184300000070.

קישורים חיצוניים

• עליזה מלק - קורס אלגברה לינארית - מטריצה אנטי סימטרית, סרטון בערוץ "הטכניון", באתר יוטיוב
• "Antisymmetric matrix". Wolfram Mathworld.
• Benner, Peter; Kressner, Daniel. "HAPACK – Software for (Skew-)Hamiltonian Eigenvalue Problems".
• Ward, R. C.; Gray, L. J. (1978). "Algorithm 530: An Algorithm for Computing the Eigensystem of Skew-Symmetric Matrices and a Class of Symmetric Matrices [F2]". ACM Transactions on Mathematical Software. 4 (3): 286. doi:10.1145/355791.355799. Fortran Fortran90
• מטריצה אנטי-סימטרית, באתר MathWorld (באנגלית)