מטריצת אפסים

במתמטיקה ובפרט באלגברה ליניארית, מטריצת אפסים היא מטריצה שכל איבריה הם 0, כלומר אפסים. לדוגמה:

${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\ }$

קבוצת המטריצות מסדר m×n בחוג K יוצרת את החוג ${\displaystyle K_{m,n}\,}$. מטריצת האפסים ${\displaystyle 0_{K_{m,n}}\,}$ ב-${\displaystyle K_{m,n}\,}$ היא המטריצה שכל איבריה שווים ל-${\displaystyle 0_{K}\,}$, כאשר ${\displaystyle 0_{K}\,}$ הוא איבר האפס ב-K. דהיינו:

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}_{m\times n}}$

מטריצת האפסים היא איבר האפס ב-${\displaystyle K_{m,n}\,}$, כלומר לכל ${\displaystyle A\in K_{m,n}\,}$ מתקיים:

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A}$

עבור החוג K קיימת בדיוק מטריצת אפסים אחת מסדר ${\displaystyle m\times n}$, כך שבהקשר ברור ניתן להתייחס אליה כאל מטריצת האפסים. גם איבר האפס מיוצג בדרך כלל באמצעות 0 כך שניתן להגדירה באופן גנרי עבור כל חוג.

מטריצת אפסים מייצגת טרנספורמציה ליניארית המעבירה כל וקטור לווקטור האפס.

בעיית מטריצת האפסים

בעיית מטריצת האפסים מוגדרת בהינתן קבוצה סופית של מטריצות ${\displaystyle n\times n}$ עם ערכים שלמים, ושואפת למצוא אלגוריתם מתמטי שיקבע האם ניתן להכפילן בסדר כלשהו, ייתכן עם חזרות, באופן שתוצר ההכפלה יהיה מטריצת האפס.

הוכח כי בעיית מטריצת האפסים עבור קבוצה של 6 או יותר מטריצות ${\displaystyle 6\times 6}$, או של שתי מטריצות ${\displaystyle 15\times 15}$ היא בעיה לא כריעה^[1].

ראו גם

• מטריצת היחידה
• מטריצת אחדות

קישורים חיצוניים

• מטריצת אפסים, באתר MathWorld (באנגלית)