מרחב מנה (אלגברה ליניארית)

באלגברה ליניארית, מרחב מנה של מרחב וקטורי ${\displaystyle V}$ המתקבל מתת-מרחב ${\displaystyle W}$, הוא מרחב וקטורי המתקבל כתוצאה מ"דחיסת" ${\displaystyle W}$ ל-0. המרחב המתקבל בצורה זו מסומן ${\displaystyle V/W}$. הגדרה זו יצר פאול הלמוס בשנת 1947 בספרו "Finite dimensional vector spaces".

הגדרה

יהא ${\displaystyle V}$ מרחב וקטורי מעל שדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$, ויהי ${\displaystyle W}$ תת-מרחב שלו. נגדיר יחס שקילות על ידי ${\displaystyle v\sim u\Leftrightarrow v-u\in W}$ עבור כל ${\displaystyle v,u\in V}$.^[1] ניתן להוכיח כי אכן מדובר ביחס שקילות.

מסמנים את מחלקת השקילות של וקטור ${\displaystyle v\in V}$ להיות ${\displaystyle \left[v\right]=\left\{u\in V\mid u\sim v\right\}}$, ומתבוננים בקבוצת מחלקות השקילות הללו המסומנת ב-${\displaystyle V/W}$.

ניתן להוכיח כי אם ${\displaystyle v_{1}\sim v_{2}}$ ו-${\displaystyle u_{1}\sim u_{2}}$ אז בהכרח גם ${\displaystyle v_{1}+u_{1}\sim v_{2}+u_{2}}$. כמו כן, אם ${\displaystyle v\sim u}$ ו-${\displaystyle \lambda \in \mathbb {F} }$ אז גם ${\displaystyle \lambda v\sim \lambda u}$. בזכות שתי תכונות אלו ניתן להגדיר באופן טבעי על ${\displaystyle V/W}$ מבנה של מרחב וקטורי מעל ${\displaystyle \mathbb {F} }$, על ידי פעולת חיבור ${\displaystyle \left[v\right]+\left[u\right]=\left[v+u\right]}$ וכפל בסקלר ${\displaystyle \lambda \cdot \left[v\right]=\left[\lambda \cdot v\right]}$. פעולות אלו אינן תלויות בבחירת הנציג של מחלקות השקילות ולכן מוגדרות היטב.

המרחב הווקטורי ${\displaystyle V/W}$ עם פעולות אלו נקרא מרחב המנה של ${\displaystyle V}$ על ${\displaystyle W}$.

לממד של המרחב הווקטורי ${\displaystyle V/W}$ קוראים הקו-ממד של ${\displaystyle W}$ ב-${\displaystyle V}$ ומסמנים אותו ב-${\displaystyle \operatorname {codim} (W):=\operatorname {dim} (V/W)}$.^[2] ניתן להראות כי אם ${\displaystyle V}$ מרחב וקטורי מממד סופי, אז ${\displaystyle \dim \left(V/W\right)=\dim \left(V\right)-\dim \left(W\right)}$.

דוגמאות למרחב מנה

• עבור המרחב הווקטורי ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$ ותת-המרחב ${\displaystyle W=\left\{\left(x,y\right)\mid x=y\right\}}$ (הישר העובר בראשית בשיפוע 1), מרחב המנה שיתקבל ${\displaystyle V/W}$ הוא אוסף כל הישרים בשיפוע 1 ב-${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, ומרחב זה איזומורפי למרחב ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• באופן כללי יותר, אם נתבונן במרחב הווקטורי ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ובתת מרחב שלו ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ לאיזה ${\displaystyle m<n}$ המשוכן בו באופן טבעי, אז נקבל כי מרחב המנה ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {R} ^{m}}$ איזומורפי באופן טבעי למרחב ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-m}}$.
• באופן עוד יותר כללי, אם ${\displaystyle V=W\oplus U}$, אז מרחב המנה ${\displaystyle V/U}$ איזומורפי באופן טבעי למרחב ${\displaystyle W}$.

• יהי ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}},\mu \right)}$ מרחב מידה. נקבע ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ כלשהו, ויהי ${\displaystyle L^{p}}$ אוסף הפונקציות המדידות מהצורה ${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$ או ${\displaystyle X\to \mathbb {C} }$, המקיימות ${\displaystyle \|f\|_{p}\equiv \left(\int _{X}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty }$. מאי-שוויון מינקובסקי נובע כי ${\displaystyle \|\|_{p}}$ מקיימת את אי-שוויון המשולש, ולכן היא נורמה-למחצה של ${\displaystyle L^{p}}$. כדי להפוך את ${\displaystyle \|\|_{p}}$ לנורמה, התכונה החסרה היא כי ${\displaystyle f\neq g\Longrightarrow \|f-g\|_{p}\neq 0}$. כדי לתקן זאת, ניתן להתבונן בתת-המרחב ${\displaystyle W=\ker \|\|_{p}=\left\{f\in L^{p}\mid \|f\|_{p}=0\right\}}$ (נשים לב כי מרחב זה אינו תלוי ב-${\displaystyle p}$), ונקבל כי על המרחב ${\displaystyle L^{p}/W}$, מתקבלת על ידי ${\displaystyle \|\|_{p}}$ נורמה טבעית.

קישורים חיצוניים

• מרחב מנה, באתר MathWorld (באנגלית)