משוואת קצב

בכימיה פיזיקלית, משוואת קצב או חוק קצב הם כלים לתיאור המהירות בה מתרחשת תגובה מסוימת. למשוואה שימוש נרחב בקינטיקה כימית. משוואת הקצב מקשרת בין קצב התגובה לריכוזים או לחצים של המגיבים והתוצרים בתגובה. באופן כללי, עבור התגובה ${\displaystyle {\ce {A + B -> C}}}$ משוואת הקצב תהיה:

${\displaystyle r\;=\;k\left(T\right)\left[A\right]^{m}\left[B\right]^{n}}$

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

כאשר:

• ${\displaystyle k}$ בטמפרטורה קבועה, הוא קבוע הקצב ויחידותיו משתנות בהתאם לכמות החומרים בריאקציה.
• ${\displaystyle m}$ הוא הסדר החלקי של חומר A. (הסוגרים המרובעים מציינים ריכוז, בדרך כלל ביחידות מולר)
• ${\displaystyle n}$ הוא הסדר החלקי של חומר B.

סכום הסדרים החלקיים הוא הסדר הכולל של הריאקציה. בתגובה אלמנטרית, סכום המקדמים הסטוכיומטרים של המגיבים הוא סדר התגובה.

קיימות משוואות קצב מסובכות יותר עבור תגובות שאינן אלמנטריות. לתגובות כאלה יש מנגנון, המורכב מכמה שלבים של תגובות אלמנטריות. משוואת הקצב היא משוואה דיפרנציאלית. האינטגרל על משוואת הקצב נותן "פתרון" למשוואה, פתרון המקשר בין ריכוזי המגיבים והתוצרים ביחס לזמן.

גם זרזים ומעכבים יכנסו למשוואה, על אף שריכוזם אינו משתנה, מכיוון שהם משפיעים על קצב התגובה. לזרזים יהיה סדר חלקי חיובי, ומעכבים יהיו בעלי סדר חלקי שלילי.

תגובות מסדר אפס

בתגובות מסדר אפס, קצב התגובה אינו תלוי בריכוז המגיבים. העלאת ריכוז המגיבים לא יעלה את קצב התגובה. חוק הקצב לתגובה כזאת יהיה:

${\displaystyle r=k}$

כאן, יחידותיו של קבוע הקצב תהיינה ריכוז/ זמן. ניתן לתאר את השתנות הריכוז ביחס לזמן לפי:

${\displaystyle r=-{\frac {d[A]}{dt}}=k}$

פתרון משוואת הקצב (האינטגרל על חוק הקצב) ייתן:

${\displaystyle [A]_{t}=-kt+[A]_{0}}$

כאשר ${\displaystyle [A]_{t}}$ מייצג את ריכוז החומר בזמן מסוים, ו-${\displaystyle [A]_{0}}$ מייצג את הריכוז ההתחלתי.

התגובה היא מסדר אפס אם שרטוט גרף של הריכוז כנגד הזמן הוא קו ישר (ליניארי). שיפוע הישר הוא k, קבוע הקצב.

זמן מחצית החיים של התגובה מתאר את הזמן הדרוש לחומר להגיע למחצית מריכוזו ההתחלתי. עבור תגובה מסדר אפס הוא נתון בנוסחה:

${\displaystyle t_{\frac {1}{2}}={\frac {[A]_{0}}{2k}}}$

תגובות מסדר ראשון

תגובות מסדר ראשון תלויות בריכוז של חומר אחד בלבד (תגובה אונימולקולרית). עשויים להיות מגיבים אחרים, אך הסדר החלקי שלהם יהיה אפס. משוואת הקצב תהיה מהצורה:

${\displaystyle r=-{\frac {d[A]}{dt}}=k[A]}$

בסדר ראשון, יחידותיו של k תהיינה 1זמן, ומאינטגרל על משוואת הקצב מתקבל

${\displaystyle [A]=[A]_{0}e^{-kt}}$

או, באופן שקול,

${\displaystyle \ln {[A]}=-kt+\ln {[A]_{0}}}$

שרטוט של גרף ${\displaystyle \ln {[A]}}$ נגד הזמן, יתן גרף ליניארי ששיפועו ${\displaystyle k}$.

בסדר ראשון, זמן מחצית החיים אינו תלוי בריכוז ההתחלתי והוא נתון בנוסחה: ${\displaystyle t_{\frac {1}{2}}={\frac {\ln {(2)}}{k}}}$.

דוגמאות לתגובות מסדר ראשון:

• ${\displaystyle {\ce {H2O2(l) -> 2H2O(l) +O2(g)}}}$
• ${\displaystyle {\ce {SO2Cl2(l) -> SO2(g) + Cl2(g)}}}$
• ${\displaystyle {\ce {N2O5(g) -> 4NO2(g) + O2(g)}}}$

תגובות מסדר שני

תגובה מסדר שני תהייה מורכבת משני מגיבים שהסדר החלקי של כל אחד מהם אחד, או מגיב שהסדר החלקי שלו 2.

• במקרה הראשון, משוואת הקצב תראה כך:

${\displaystyle r=k[A]^{2}}$ או ${\displaystyle \ln r=\ln k+2\ln \left[A\right]}$

ומאינטגרציה יתקבל חוק הקצב:

${\displaystyle {\frac {1}{[A]}}=kt+{\frac {1}{[A]_{0}}}}$

וזמן מחצית החיים מקיים:

${\displaystyle t_{\frac {1}{2}}={\frac {1}{k[A]_{0}}}}$.

• במקרה השני:

${\displaystyle r=k[A][B]}$

וחוק הקצב יהיה

${\displaystyle {\frac {[A]}{[B]}}={\frac {[A]_{0}}{[B]_{0}}}e^{([A]_{0}-[B]_{0})kt}}$

כאשר הריכוזים ההתחלתיים של A ושל B חייבים להיות שונים זה מזה.^{[דרושה הבהרה]}

דוגמה לתגובה מסדר שני:

• ${\displaystyle {\ce {2NO2(g) -> 2NO(g) + O2(g)}}}$

סיכום לתגובות מסדרים שונים עם מגיב בודד

	סדר אפס	סדר ראשון	סדר שני	סדר n
משוואת הקצב	${\displaystyle -{\frac {d[A]}{dt}}=k}$	${\displaystyle -{\frac {d[A]}{dt}}=k[A]}$	${\displaystyle -{\frac {d[A]}{dt}}=k[A]^{2}}$	${\displaystyle -{\frac {d[A]}{dt}}=k[A]^{n}}$
פתרון משוואת הקצב	${\displaystyle [A]=[A]_{0}-kt}$	${\displaystyle [A]=[A]_{0}e^{-kt}}$	${\displaystyle {\frac {1}{[A]}}={\frac {1}{[A]_{0}}}+kt}$	${\displaystyle {\frac {1}{[A]^{n-1}}}={\frac {1}{{[A]_{0}}^{n-1}}}+(n-1)kt}$ [למעט סדר ראשון]
יחידות קבוע הקצב (k)	${\displaystyle {\frac {M}{s}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{M\cdot s}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{M^{n-1}\cdot s}}}$
גרף ליניארי לחילוץ k	${\displaystyle [A]\ {\mbox{vs.}}\ t}$	${\displaystyle \ln([A])\ {\mbox{vs.}}\ t}$	${\displaystyle {\frac {1}{[A]}}\ {\mbox{vs.}}\ t}$	${\displaystyle {\frac {1}{[A]^{n-1}}}\ {\mbox{vs.}}\ t}$ [למעט סדר ראשון]
זמן מחצית חיים	${\displaystyle t_{1/2}={\frac {[A]_{0}}{2k}}}$	${\displaystyle t_{1/2}={\frac {\ln(2)}{k}}}$	${\displaystyle t_{1/2}={\frac {1}{[A]_{0}k}}}$	${\displaystyle t_{1/2}={\frac {2^{n-1}-1}{(n-1)k{[A]_{0}}^{n-1}}}}$ [למעט סדר ראשון]

ראו גם

• קינטיקת מיכאליס-מנטן
• פסאודו סדר