משפט הורוויץ (אנליזה מרוכבת)

משפט הורוויץ הוא משפט באנליזה מרוכבת בדבר האפסים של סדרת פונקציות הולומורפיות המתכנסת במידה שווה על תתי קבוצות קומפקטיות.

המשפט נקרא על שמו של אדולף הורוויץ, מתמטיקאי שעסק רבות בתורת הפונקציות המרוכבות. בהוכחת משפט ההעתקה של רימן יש שימוש במשפט הורוויץ.

תהי ${\displaystyle \{f_{n}:\Omega \to \mathbb {C} \}}$ סדרת פונקציות הולומורפיות על תחום פתוח וקשיר ${\displaystyle \Omega }$. נניח שהסדרה מתכנסת במידה שווה על כל תת-קבוצה קומפקטית לפונקציה ${\displaystyle f}$. אם לפונקציית הגבול יש שורש ${\displaystyle z_{0}}$ מסדר ${\displaystyle m}$, אז החל ממקום מסוים, לכל ${\displaystyle f_{k}}$ יש בדיוק ${\displaystyle m}$ שורשים בסביבה מספיק קטנה של ${\displaystyle z_{0}}$. בנוסף, כאשר ${\displaystyle k\to \infty }$ השורשים שואפים ל-${\displaystyle z_{0}}$.

הוכחה

${\displaystyle f}$ אינה זהותית 0 ולכן האפסים שלה מבודדים, בפרט קיים ${\displaystyle r>0}$ כך ש${\displaystyle f}$ אינה מתאפסת ב ${\displaystyle {\bar {B}}(z_{0},r)\backslash z_{0}}$.

כעת מעקרון הארגומנט ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B(z_{0},r)}f'(z)/f(z)dz=N_{f}(B(z_{0},r))=m}$.

${\displaystyle f_{k}}$ מתכנסת במידה שווה ל${\displaystyle f}$ על תתי קבוצות קומפקטיות ולכן ממשפט ויירשטראס ${\displaystyle f'_{k}}$ מתכנסת במידה שווה ל${\displaystyle f'}$ על תתי קבוצות קומפקטיות, בנוסף ${\displaystyle f}$ אינה מתאפסת על ${\displaystyle \partial B(z_{0},r)}$ ,${\displaystyle f}$ רציפה ו${\displaystyle \partial B(z_{0},r)}$ היא קבוצה קומפקטית ולכן ממשפט ויירשטראס קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך ש ${\displaystyle |f|>\delta }$ על ${\displaystyle \partial B(z_{0},r)}$, מהתכנסות במידה שווה החל ממקום מסוים ${\displaystyle |f_{k}|>{\frac {\delta }{2}}}$ על ${\displaystyle \partial B(z_{0},r)}$. על כן נקבל כי ${\displaystyle f'_{k}/f_{k}\rightarrow f'/f}$ במידה שווה על ${\displaystyle \partial B(z_{0},r)}$.

לכן, ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B(z_{0},r)}f'(z)/f(z)dz=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B(z_{0},r)}f_{k}'(z)/f_{k}(z)dz}$

מעקרון הארגומנט ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B(z_{0},r)}f_{k}'(z)/f_{k}(z)dz=N_{f_{k}}(B(z_{0},r))}$ ובפרט זהו מספר שלם, על כן זו סדרה מתכנסת של מספרים שלמים ולכן החל ממקום מסוים היא קבועה ושווה לגבול שלה כלומר

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B(z_{0},r)}f_{k}'(z)/f_{k}(z)dz=m}$

ומעקרון הארגומנט ינבע של${\displaystyle f_{k}}$ יש בדיוק ${\displaystyle m}$ שורשים בסביבה זו.

מסקנות

• גרסה נפוצה של המשפט היא - אם בסדרת פונקציות כנ"ל אף פונקציה לא מתאפסת, אז פונקציית הגבול היא או אפס זהותית, או שאיננה מתאפסת אף היא.
• אם בסדרת פונקציות כנ"ל כל פונקציה היא חד-חד-ערכית, אז פונקציית הגבול היא או חד חד ערכית או קבועה.

קישורים חיצוניים

• משפט הורוויץ, באתר MathWorld (באנגלית)