משפט ז'ורדן-הלדר

בתורת החבורות, משפט ז'ורדן-הלדר קובע שכל סדרות ההרכב של חבורה סופית הן שקולות. כלומר גורמי ההרכב של כל זוג סדרות הרכב הם זהים עד כדי סדר ואיזומורפיזם.

המשפט מהווה הכללה מרחיקת-לכת של המשפט היסודי של האריתמטיקה, שהוא מקרה פרטי שלו עבור החבורות החיבוריות ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$.

משפט ז'ורדן הולדר נובע בקלות ממשפט העידון של שרייר שקובע: לכל שתי סדרות נורמליות בחבורה קיימים עידונים שקולים. כאשר עידון של סדרה נורמלית הוא תהליך בו מוסיפים תתי-חבורות נורמליות מתאימות לסדרה.

תיאור ההוכחה

להלן סקירה של שלבי ההוכחה.

למת הפרפר של זסנהאוס

תהי ${\displaystyle G}$ חבורה, ונניח כי נתונות תתי החבורות ${\displaystyle A\vartriangleleft A^{*}\leq G}$ וכן ${\displaystyle B\vartriangleleft B^{*}\leq G}$. (כאשר ${\displaystyle \leq }$ סימון לתת-חבורה, ו-${\displaystyle \vartriangleleft }$ סימון לתת-חבורה נורמלית). אזי מתקיימים היחסים הבאים:

${\displaystyle A\left(A^{*}\cap B\right)\vartriangleleft A\left(A^{*}\cap B^{*}\right)}$

${\displaystyle B\left(A\cap B^{*}\right)\vartriangleleft B\left(A^{*}\cap B^{*}\right)}$

וכן מתקיים האיזומורפיזם הבא לגבי חבורות המנה:

${\displaystyle A\left(A^{*}\cap B^{*}\right)/A\left(A^{*}\cap B\right)\cong B\left(A^{*}\cap B^{*}\right)/B\left(A\cap B^{*}\right)}$

הוכחה

עיקר ההוכחה הוא האיזומורפיזם בין חבורות המנה. אותו ניתן להסיק ממשפט האיזומורפיזם השני. תחילה שמים לב כי: $${\displaystyle A\left(A^{*}\cap B^{*}\right)/A\left(A^{*}\cap B\right)\cong \left(A^{*}\cap B^{*}\right)/\left(\left(A\left(A^{*}\cap B\right)\right)\cap \left(A^{*}\cap B^{*}\right)\right)=\left(A^{*}\cap B^{*}\right)/\left(\left(A\cap B^{*}\right)\left(A^{*}\cap B\right)\right),}$$ כאשר האיזומורפיזם הראשון נובע ממשפט האיזומורפיזם השני והשיויון אחריו הוא חישוב פשוט. באופן סימטרי מסיקים ש: $${\displaystyle B\left(A^{*}\cap B^{*}\right)/B\left(A\cap B^{*}\right)\cong \left(A^{*}\cap B^{*}\right)/\left(\left(A\cap B^{*}\right)\left(A^{*}\cap B\right)\right).}$$ הלמה נובעת משילוב שני האיזומורפיזמים האלה.

הוכחת משפט העידון של שרייר

תהי ${\displaystyle G}$ חבורה ויהיו ${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i=0}^{n}}$, ${\displaystyle \left\{B_{j}\right\}_{j=0}^{m}}$ סדרות נורמליות בחבורה. לכל ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ולכל ${\displaystyle 0\leq j\leq m}$ החבורות הבאות:

${\displaystyle A_{ij}=:A_{i+1}\left(A_{i}\cap B_{j}\right)}$

מלמת הפרפר שהזכרנו נובע שלכל ${\displaystyle i}$ מתקיים ${\displaystyle A_{ij}\vartriangleright A_{i,j+1}}$. כמו כן קל ליווכח כי ${\displaystyle A_{i0}=A_{i}}$ וכן ${\displaystyle A_{im}=A_{i+1}}$. כעת נבצע את תהליך העידון באופן הבא: לכל תווך ${\displaystyle A_{i+1}\vartriangleright A_{i}}$ בסדרה הנורמלית המקורית נוסיף את תתי הסדרות שהגדרנו כך:

${\displaystyle A_{i}=A_{i0}\vartriangleright A_{i1}\vartriangleright ...\vartriangleright A_{im}=A_{i+1}}$

מכך מתקבל עידון של הסדרה הנורמלית ${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i=0}^{n}}$.

באופן סימטרי לגמרי בונים עידון של הסדרה הנורמלית ${\displaystyle \left\{B_{j}\right\}_{j=0}^{m}}$, ומחלקה השני של למת הפרפר ניתן להווכח שאכן כל גורמי שתי הסדרות המעודנות איזומורפיים, עד-כדי שינוי סדר.

הוכחת משפט ז'ורדן-הלדר

תהי ${\displaystyle G}$ חבורה סופית ויהיו ${\displaystyle \left\{H_{i}\right\}_{i=0}^{n}}$, ${\displaystyle \left\{K_{j}\right\}_{j=0}^{m}}$ סדרות הרכב כלשהן של החבורה. נרצה להראות שהסדרות הללו שקולות.

סדרות ההרכב הן בפרט סדרות נורמליות, ולכן ממשפט העידון נובע שקיימים לשתי הסדרות עידונים שקולים, שנסמן ${\displaystyle \left\{H'_{i}\right\}_{i=0}^{l}}$, ${\displaystyle \left\{K'_{j}\right\}_{j=0}^{l}}$. נשים לב שמשקילות העידונים נובע כי שניהם באותו אורך.

קל לראות שסדרה נורמלית היא סדרת הרכב אם ורק אם אין בה חזרות, וכן כל עידון שלה בהכרח יוסיף חזרות. לכן גורמי ההרכב החדשים שמתווספים בעידונים השקולים הם רק ${\displaystyle \left\{e\right\}}$, מספר כלשהו של פעמים. משקילות העידונים נובע שבהכרח מספר הפעמים שהגורם הטריוויאלי מתווסף שווה בשתיהן, ומכאן ששאר הגורמים שווים במספרם ואיזומורפיים, ללא חשיבות לסדר. אך שאר הגורמים הם בדיוק גורמי סדרות ההרכב המקוריות, ומכאן כי הן שקולות.