משפט פרמה (לנקודות קיצון)

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט פרמה של פייר דה פרמה לפיו אם פונקציה גזירה, אז ערך הנגזרת בנקודת קיצון מקומית שווה לאפס. כלומר, שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה זו הוא אפס. ההפך לא תמיד נכון – נגזרת יכולה להיות שווה לאפס גם בנקודה שאינה מקסימום או מינימום, אלא נקודת פיתול או אחרת. בנוסף, נקודת קיצון יכולה להתקיים גם במקרה בו הנגזרת לא מוגדרת. כלומר, בנקודה בה הפונקציה אינה גזירה.

אין לבלבל ערך זה, העוסק במשפט פרמה לנקודות קיצון, עם הערך "המשפט האחרון של פרמה", העוסק במשפט ידוע יותר של פייר דה פרמה, עליו גם נכתב ספר בעל אותו השם.

ניסוח המשפט

תהי ${\displaystyle \ f}$ פונקציה המוגדרת בקטע ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ ותהי ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ נקודת קיצון מקומית בה הפונקציה גזירה, אזי ${\displaystyle f'\left(x_{0}\right)=0}$.

הוכחה

דוגמה: נקודת המקסימום של הפונקציה ${\displaystyle f(x)=-x^{2}+5}$ היא ${\displaystyle (0,5)}$ המשיק לה הוא ${\displaystyle g(x)=5}$ כשהשיפוע שווה לערך הנגזרת הוא ${\displaystyle 0}$

נוכיח במקרה שבו ${\displaystyle \ x_{0}}$ היא נקודת מקסימום מקומי. ההוכחה לנקודות מינימום דומה.

מאחר ש-${\displaystyle \ x_{0}}$ נקודת מקסימום מקומי, הרי שקיימת סביבה ${\displaystyle \ U=(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )}$ המוכלת כולה בקטע ${\displaystyle \ (a,b)}$, כך שלכל ${\displaystyle x\in U}$ מתקיים ${\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})}$. מכאן כי עבור כל ${\displaystyle \ \Delta x}$ שעבורו ${\displaystyle x_{0}+\Delta x\in U}$ מתקיים ${\displaystyle f(x_{0}+\Delta x)\leq f(x_{0})}$.

ולכן: ${\displaystyle f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\leq 0}$. נחלק ב־${\displaystyle \Delta x}$:

עבור ${\displaystyle 0<{\Delta x}}$:

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}\leq 0}$ ולכן גם ${\displaystyle f'_{+}(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}\leq 0}$.

ועבור ${\displaystyle 0>{\Delta x}}$:

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}\geq 0}$ ולכן גם ${\displaystyle f'_{-}(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0^{-}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}\geq 0}$

מאחר שהפונקציה גזירה בנקודה ${\displaystyle \ x_{0}}$ הרי שמתקיים ${\displaystyle f'_{-}\left(x_{0}\right)=f'_{+}(x_{0})}$ ולכן בהכרח ${\displaystyle f'\left(x_{0}\right)=0}$.

הכללה למקרה מרובה המשתנים

ניתן להכליל את המשפט למקרה של פונקציה סקלרית מרובת משתנים ${\displaystyle \ f(x_{1},\dots ,x_{n}):\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$. אם לפונקציה יש מקסימום בנקודה כלשהי, בפרט יהיה לה מקסימום כאשר נסתכל על הפונקציה כפונקציה של משתנה יחיד ונתייחס לשאר המשתנים בתור קבועים, ועל כן על פי משפט פרמה הנגזרת החלקית על פי משתנה זה תתאפס. ניתן לעשות זאת עבור כל המשתנים, ועל כן הנגזרת החלקית עבור כל אחד מהמשתנים מתאפסת בנקודה זו. פירוש הדבר הוא שהגרדיאנט של הפונקציה בנקודת הקיצון יהיה וקטור האפס.

קישורים חיצוניים

• ד"ר גדי אלכסנדרוביץ', נגזרת – בשביל מה זה טוב? (בעיות קיצון, חלק ב'), באתר "לא מדויק", 16 בינואר 2011.
• ד"ר גדי אלכסנדרוביץ', אנליזה וקטורית – מציאת ערכי קיצון, באתר "לא מדויק", 15 באוקטובר 2015.