וקטור נורמלי

וקטור נורמלי (Normal), המוכר גם בגאומטריה כנורמל, הוא וקטור (או ישר) המאונך לאובייקט המתאים; ישר, מישור או משטח כללי.

מצולע עם שני וקטורי הנורמל שלו

מציאת וקטור הנורמל

• מציאת וקטור הנורמל במישור: ${\displaystyle Ax+By+C=0}$ - כאן וקטור הנורמל הוא: ${\displaystyle (A,B)}$. כלומר, וקטור הנורמל הוא המקדמים של x ו-y.
• מציאת וקטור הנורמל במרחב: ${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0}$ - כאן וקטור הנורמל הוא ${\displaystyle (A,B,C)}$.
• אם הישר או המישור נתונים בהצגה פרמטרית, ניתן למצוא את הווקטור על ידי המשוואות שמראות שהמכפלה הסקלרית של הווקטור הנורמלי בווקטורי הכיוון של הישר או המישור שווה לאפס.
• בהינתן הצגה פרמטרית של משטח כלשהו(לא בהכרח מישור), הווקטור הנורמלי של המשטח יהיה מכפלה וקטורית בין וקטורי הנגזרות החלקיות של הפרמטרים המגדירים של המשטח.

דוגמאות

• מציאת וקטור נורמלי למשטח ${\displaystyle z=4-x^{2}-y^{2}}$ בנקודה ${\displaystyle (x,y,z)}$. הצגתו הפרמטרית של המשטח היא : ${\displaystyle S=(x,y,4-x^{2}-y^{2})}$, מכיוון שהמשטח דו־ממדי הוא מתואר באמצעות שני פרמטרים בלבד, ${\displaystyle x}$ ו ${\displaystyle y}$. הנגזרת החלקית של S לפי ${\displaystyle x}$ היא ${\displaystyle {\partial S \over \partial x}=(1,0,-2x)}$ והנגזרת החלקית של S לפי ${\displaystyle y}$ היא ${\displaystyle {\partial S \over \partial y}=(0,1,-2y)}$. הווקטור הנורמלי למשטח מתקבל על ידי ${\displaystyle {\partial S \over \partial x}\times {\partial S \over \partial y}={\begin{vmatrix}i&j&k\\1&0&-2x\\0&1&-2y\end{vmatrix}}=(2x,2y,1)}$. כלומר לכל נקודה ${\displaystyle (x,y,z)}$, הווקטור ${\displaystyle {\vec {n}}=(2x,2y,1)}$ ניצב למשטח הפונקציה ${\displaystyle z=4-x^{2}-y^{2}}$. וקטור היחידה המנורמל הוא ${\displaystyle {\widehat {n}}={{\vec {n}} \over \lVert {\vec {n}}\rVert }={(2x,2y,1) \over {\sqrt {4x^{2}+4y^{2}+1}}}}$.

שימושים

לווקטור הנורמל מספר שימושים:

• וקטורים מאונכים אם ורק אם המכפלה הסקלרית של הנורמלים שלהם שווה לאפס.
• מגדירים אלמנט שטח אינפיניטסימלי בנקודה P על ידי ${\displaystyle {\vec {dA}}=(dA){\vec {n}}}$ כאשר ${\displaystyle {\vec {n}}}$ הוא וקטור נורמל באורך יחידה הניצב למשטח האינפיניטסימלי בנקודה P.

ראו גם

• כוח נורמלי

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.