עצרת (מתמטיקה)

במתמטיקה, עֲצֶרֶת (באנגלית: Factorial) היא מכפלת כל המספרים הטבעיים מ־1 ועד למספר נתון.

ערכי עצרת עד 20

${\displaystyle n}$	${\displaystyle n!}$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40,320
9	362,880
10	3,628,800
11	39,916,800
12	479,001,600
13	6,227,020,800
14	87,178,291,200
15	1,307,674,368,000
16	20,922,789,888,000
17	355,687,428,096,000
18	6,402,373,705,728,000
19	121,645,100,408,832,000
20	2,432,902,008,176,640,000

למשל, "4 עצרת" היא המכפלה ${\displaystyle 4!=1\times 2\times 3\times 4=24}$.

לציון עצרת של ${\displaystyle n}$ שימש הסימן , אך סימן זה לא היה נוח למדפיסים. בעקבות הצעתו של המתמטיקאי כריסטיאן קראמפ משנת 1808, מקובל לסמן את העצרת בסימן "!", כלומר ${\displaystyle n!=1\times 2\times \cdots \times n}$.

העצרת היא פעולה אונארית שאותה אפשר להגדיר ברקורסיה לפי הנוסחה ${\displaystyle n!=(n-1)!\cdot n}$ ותנאי ההתחלה ${\displaystyle 0!=1}$.

סדרת העצרות של המספרים הטבעיים היא סדרה A000142 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים.

הערך !0

יש בדיוק דרך אחת לסדר 0 איברים (היינו, לא לשבץ אף איבר באף מקום), ולכן ${\displaystyle 0!=1}$. תוצאה זו מתאימה למוסכמה לפיה ערכה של מכפלה ריקה הוא תמיד 1, וכן להגדרת העצרת באינדוקציה (${\displaystyle 1!=1\cdot 0!}$).

הגדרה זו שימושית גם לנוסחאות שונות בקומבינטוריקה, כגון הנוסחה לבחירת ${\displaystyle k}$ איברים מתוך ${\displaystyle n}$ איברים, שעבור ${\displaystyle k=n}$ (כלומר בחירת כל האיברים) מקבלת את הצורה ${\displaystyle {\tbinom {n}{n}}={\tfrac {n!}{n!0!}}=1}$.

ההתאמה בין ערכי !n לנוסחת סטירלינג

קירוב

אפשר לקבל קירוב טוב עבור ערכים גדולים של ${\displaystyle n!}$ בעזרת הפיתוח:

${\displaystyle \ln(n!)=\ln \left(\prod _{k\,=\,1}^{n}k\right)=\sum _{k\,=\,1}^{n}\ln(k)\approx \int \limits _{1}^{n}\ln(x)dx=n\ln(n)-n+1}$.

הערכה של השגיאה בפיתוח, מובילה לנוסחת סטירלינג:

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$.

קצב הגידול

ערכיה של הפונקציה נוסקים במהירות רבה ביחס לפונקציות נפוצות אחרות (דוגמת פולינומים ואף פונקציות מעריכיות). נוסחת סטירלינג מראה שעבור ${\displaystyle n}$ גדול מספיק, מתקיים ${\displaystyle a^{n}<n!<n^{n}}$ לכל ${\displaystyle a}$ קבוע.

קומבינטוריקה

העצרת מופיעה בקומבינטוריקה על כל צעד ושעל, משום ש־${\displaystyle n!}$ הוא מספר התמורות של ${\displaystyle n}$ איברים, כלומר מספר הדרכים לסדר ${\displaystyle n}$ איברים ב־${\displaystyle n}$ מקומות. העצרת מופיעה גם בטור טיילור, משום שהנגזרת ה־${\displaystyle n}$־ית של המונום ${\displaystyle x^{n}}$ שווה ל־${\displaystyle n!}$.

העצרת מופיעה בספר יצירה הקדום (פרק רביעי, משנה י"ב), ובעקבותיו גם במקורות רבים אחרים במיסטיקה היהודית. תפקידה שם הוא לספור את המלים השונות שאפשר להרכיב מאותיות נתונות, תוך שימוש בכל האותיות וללא חזרה, והיא נקראת "בניה" – "שתי אבנים בונות שני בתים, שלוש אבנים בונות שישה בתים, ...". הספר מגיע עד לחישוב של 7 עצרת, ו"מכאן ואילך, צא וחשוב (וחשב), מה שאין העין יכולה לראות, ואין הפה יכולה לדבר, ואין האזן יכולה לשמוע".^[1]

באנליזה מתמטית

העצרת מופיעה בהקשרים שונים באנליזה מתמטית. דוגמאות:

• המספר e מוגדר כסכום של טור טיילור:

${\displaystyle e=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots }$

• הפונקציה המעריכית ${\displaystyle e^{x}}$ מוגדרת:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

פונקציית גמא

פונקציית גמא היא פונקציה מרוכבת המהווה מעין הכללה של פונקציית העצרת למספרים שאינם בהכרח שלמים. הפונקציה מוגדרת על כל המישור המרוכב למעט הנקודות ${\displaystyle 0,-1,-2,\cdots }$, לפי האינטגרל ${\displaystyle \Gamma (z+1)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}dt}$. באמצעות אינטגרציה בחלקים ניתן לראות שהיא מקיימת את הזהות ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z)}$. חישוב ישיר מראה כי ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$, ולכן ${\displaystyle n!=\Gamma (n+1)}$ לכל ${\displaystyle n}$ טבעי.

עצרת כפולה

עצרת כפולה (באנגלית: Double factorial) היא פונקציה המזכירה את העצרת, אך בה מוכפלים רק ערכים בעלי אותה זוגיות. עבור ${\displaystyle n}$ שלם ואי-שלילי, מוגדרת העצרת הכפולה ${\displaystyle n!!=\prod _{k\,=\,0}^{m}(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots }$, כאשר ${\displaystyle m=\lceil 0.5n\rceil -1}$.

מימוש בתוכנה

במרבית שפות התכנות פונקציה לחישוב עצרת איננה חלק מהשפה, אך קל ליצור אחת כזו, בלולאה המבצעת את פעולות הכפל הנדרשות או כפונקציה רקורסיבית.

בכלי עזר לחישוב קיימת פונקציית עצרת. באקסל של מיקרוסופט, וכן ב־calc של אופן אופיס, היא נקראת Fact, קיצור של המונח האנגלי Factorial. בתצוגה המדעית של המחשבון של מערכת ההפעלה Windows מופיע כפתור לחישוב עצרת.

הגידול המהיר בערך התוצאה של פונקציית העצרת גורם לכך שבמסגרת המגבלות של החומרה והתוכנה מוגבל חישוב ${\displaystyle n!}$ לערכי ${\displaystyle n}$ קטנים יחסית. התוצאה הגדולה ביותר שניתן לרשום במילה בת 32 סיביות היא ${\displaystyle 12!}$, ובמילה בת 64 סיביות – ${\displaystyle 21!}$. באקסל ניתן לחשב עד ${\displaystyle 170!}$, שהיא העצרת הגדולה ביותר שקטנה מ־${\displaystyle 2^{1024}}$ (מספר בן 1,024 סיביות), בתוכנת המחשבון של מערכת ההפעלה Windows10 (64 סיביות) ניתן לחשב עד ${\displaystyle 3248!\sim 10^{9997}}$).

ערכי עצרת גדולים מחושבים בדרך כלל באמצעות נוסחת סטירלינג, הנותנת קירוב של התוצאה. בתורת המספרים ובקומבינטוריקה נחוץ לעיתים חישוב עצרת לערכים גדולים מאוד. לשם כך נדרשת כתיבה של פונקציה מיוחדת, ונוצר צורך בבחירת אלגוריתם יעיל, כדי לקבל תוצאות תוך זמן סביר.

ראו גם

• נוסחת לז'נדר
• מספר משולשי – האנלוג החיבורי של ${\displaystyle n!}$
• משפט וילסון
• עצרת מעריכית
• מקדם בינומי

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: עצרת
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: עצרת (מתמטיקה)

• מחשבון לחישוב עצרת
• תכונות של פונקציית העצרת
• יפעת אדלר וארי שביב, אפס עצרת ופונקציית גמא, באתר מכון דוידסון, אפריל 2015
• עצרת (מתמטיקה), באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• עצרת, באתר MathWorld (באנגלית)
• עצרת, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)