פונקציה רציונלית

פונקציה רציונלית היא פונקציה שניתנת להבעה כמנת פולינומים.

קבוצת הפונקציות הרציונליות היא שדה השברים של חוג הפולינומים.

הגדרה פורמלית

נאמר שפונקציה ${\displaystyle f(x)}$ רציונלית אם היא מהצורה ${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}$ כאשר ${\displaystyle P(x)}$ ו-${\displaystyle Q(x)}$ הן פולינומים כך של-${\displaystyle Q(x)}$ יש לפחות מקדם אחד שונה מ-${\displaystyle 0}$. הפונקציה ${\displaystyle f}$ מוגדרת בכל נקודה בה ${\displaystyle Q}$ שונה מאפס.

פונקציה רציונלית היא מקרה פרטי של העתקה רציונלית.

דוגמאות

הפונקציה ${\displaystyle f(x)={\frac {3x^{5}+6x-1}{2x-9}}}$ היא פונקציה רציונלית כי ${\displaystyle 3x^{5}+6x-1}$ ו־${\displaystyle 2x-9}$ הם פולינומים לעומת זאת ${\displaystyle g(x)=cos(x)}$ אינה פונקציה רציונלית, משום שלא ניתן לבטא אותה כמנת פולינומים. גם הפונקציה ${\displaystyle h(x)={\sqrt {x}}+2{\sqrt[{4}]{x}}}$ איננה רציונלית כי המעריכים של ${\displaystyle x}$ אינם שלמים.

נגזרת של פונקציה רציונלית

כל פונקציה רציונלית היא רציפה בכל תחום הגדרתה, היות שכל פולינום מגדיר פונקציה רציפה, ומנת פונקציות רציפות אף היא רציפה. תהיינה ${\displaystyle f(x),g(x)}$ גזירות כאשר ${\displaystyle g(x)\neq 0}$. את הנגזרת של הפונקציה הרציונלית ${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}$ מקבלים על די הנוסחה ${\textstyle \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'={\tfrac {f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g(x)^{2}}}}$.

אסימפטוטות

ערך מורחב – אסימפטוטה

בניגוד לפונקציה ללא מנה כמו פונקציית פולינום, או פונקציית שורש ללא מנה, בפונקציות עם מנה ייתכנו אסימפטוטות, שהן ישרים אליהן הפונקציה שואפת להגיע, כאשר ${\displaystyle x\to \infty }$ או ${\displaystyle x\to -\infty }$.