פונקציית התפלגות מצטברת אמפירית

בסטטיסטיקה, פונקציית התפלגות מצטברת אמפירית היא פונקציה שמחושבת מתוך מדגם ונועדה לאמוד את פונקציית ההתפלגות המצטברת של משתני המדגם. פונקציה זו היא פונקציית מדרגות מונוטונית לא יורדת. משמאל לערך המדגם הנמוך ביותר היא שווה ל-0. מימין לערך המדגם הגבוה ביותר, היא שווה ל-1. בכל ערך מדגם היא גדלה ב-${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$, כאשר ${\displaystyle n}$ הוא גודל המדגם.

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

גרף התפלגות נורמלית תקנית מצטברת (אדום) וגרף של פונקציית התפלגות מצטברת אמפירית (כחול) שחושב מתוך מדגם של 50 תצפיות מתוך התפלגות נורמלית תקנית. התצפיות מסומנות בקווים ירוקים

לפי משפט גליבנקו-קנטלי, ההתפלגות האמפירית מתכנסת במידה שווה כמעט בוודאות להתפלגות משתני המדגם.

הגדרה

נתון מדגם מקרי של משתנים מקריים שווי התפלגות ובלתי תלויים, ${\displaystyle \ X_{1},\dots ,X_{n}}$. פונקציית ההתפלגות המצטברת האמפירית של המדגם מוגדרת באמצעות,

${\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}1_{(-\infty ,x]}(X_{i})}$

כאשר הפונקציה המציינת ${\displaystyle \ 1_{(-\infty ,x]}}$ מחושבת באופן הבא,

${\displaystyle 1_{(-\infty ,x]}(t)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if}}\ t\in (-\infty ,x]\\0&{\mbox{if}}\ t\notin (-\infty ,x]\end{matrix}}\right.}$

תכונות האומד

עבור כל נקודה ${\displaystyle x}$, כל אחד מהמשתנים המקריים ${\displaystyle 1_{(\infty ,x]}(X_{i})}$ מתפלג ברנולי עם פרמטר ${\displaystyle F\left(x\right)}$, ולכן הסכום שלהם הוא משתנה מקרי בינומי, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}1_{(\infty ,x]}(X_{i})\sim {\textrm {B}}\left(n,F(x)\right)}$.

מכאן ניתן לחשב את התוחלת ואת השונות של ${\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(x)}$. האומד ${\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(x)}$ הוא אומד חסר הטיה של ${\displaystyle \ F(x)}$, כלומר, ${\displaystyle E\left[{\widehat {F}}_{n}(x)\right]=F(x)}$. השונות היא, ${\displaystyle \ Var\left({\widehat {F}}_{n}(x)\right)={\frac {F(x)(1-F(x))}{n}}}$.

לפי החוק החזק של המספרים הגדולים, ${\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(x)}$ מתכנס כמעט בוודאות ל-${\displaystyle \ F(x)}$ ולכן הוא אומד עקיב.

לפי משפט גליבנקו-קנטלי, ${\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(x)}$ מתכנס כמעט בוודאות ל-${\displaystyle \ F(x)}$, באופן אחיד על הממשיים. כלומר, ${\displaystyle \ \sup _{x\in \mathbb {R} }{\big |}{\widehat {F}}_{n}(x)-F(x){\big |}{\xrightarrow {\text{a.s}}}0}$.

לפי משפט הגבול המרכזי יש ל-${\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(x)}$ התפלגות אסימפטוטית נורמלית, ${\displaystyle \ {\sqrt {n}}{\big (}{\widehat {F}}_{n}(x)-F(x){\big )}{\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}{\Big (}0,F(x){\big (}1-F(x){\big )}{\Big )}}$.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית התפלגות מצטברת אמפירית בוויקישיתוף