קבוצות זרות

במתמטיקה, זוג קבוצות הן זרות אם אין להן איבר משותף. לדוגמה, ${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}}$ ו-${\displaystyle \left\{4,5,6\right\}}$ הן קבוצות זרות.

דיאגרמת ון של שתי קבוצות זרות: A ו-B

הסבר

על פי ההגדרה, זוג קבוצות ${\displaystyle A}$ ו-${\displaystyle B}$ הן זרות אם החיתוך שלהן הוא הקבוצה הריקה, כלומר אם מתקיים:

${\displaystyle A\cap B=\varnothing \,}$

הקבוצות באוסף לא ריק של קבוצות ${\displaystyle \{A_{i}|i\in I\}}$ הן זרות בזוגות אם כל זוג קבוצות (שונות) באוסף הוא זר, כלומר לכל זוג אינדקסים שונים, ${\displaystyle i}$ ו-${\displaystyle j}$, מתקיים:

${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing \,}$

לדוגמה, הקבוצות באוסף הקבוצות ${\displaystyle \{\dots ,\{3\},\{2\},\{1\}\}}$ הן זרות בזוגות. לעיתים משתמשים פשוט במונח זרות במשמעות זאת.

אם ${\displaystyle \{A_{i}\}}$ הוא אוסף קבוצות זרות בזוגות אז החיתוך שלו הוא ריק,

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}=\varnothing }$

לעומת זאת, הכיוון ההפוך אינו נכון: החיתוך של האוסף ${\displaystyle \{\{1,3\},\{3,2\},\{2,1\}\}}$ הוא ריק, אך הקבוצות בו אינן זרות בזוגות, למעשה אין שום זוג קבוצות זרות באוסף.

חלוקה

ערך מורחב – חלוקה (תורת הקבוצות)

חלוקה של קבוצה היא פירוק של הקבוצה לאוסף של תת-קבוצות זרות שאיחודן הוא הקבוצה עצמה.

במילים אחרות, בהינתן קבוצה ${\displaystyle X}$, הקבוצות ${\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\subset X}$ הן חלוקה של ${\displaystyle X}$, אם הן זרות בזוגות וכן: ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=X}$.^[א]

ראו גם

• תורת הקבוצות - מונחים

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא קבוצות זרות בוויקישיתוף

• קבוצות זרות, באתר MathWorld (באנגלית)

ביאורים

1. לשם הפשטות, ניתנה דוגמה של אוסף בן מניה, אך חלוקה מוגדרת גם על אוסף לא בן-מניה של קבוצות.