קואורדינטות גליליות פרבוליות

במתמטיקה, קואורדינטות גליליות פרבוליות היא מערכת קואורדינטות תלת־ממדית אשר מאפיינת כל נקודה על ידי מפגש שתי פרבולות ומישור המגדיר את ערך הגובה. הקואורדינטות הללו הם בעצם הכללה של קואורדינטות פרבוליות עבור המרחב האוקלידי ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}}$.

מערכות צירים וקואורדינטות

מערכות צירים נפוצות

קואורדינטות קרטזיות קואורדינטות קוטביות קואורדינטות גליליות קואורדינטות כדוריות קואורדינטות גליליות פרבוליות

ראו גם

קואורדינטות קואורדינטות גאוגרפיות קואורדינטות (אלגברה) חשבון טנזורים אנליזה וקטורית

יצוג הנקודה הקרטזית (2, -1.5, 2) בקואורדינטות גליליות פרבוליות, כאשר הפרבולה הצהובה מייצגת את τ=1, הפרבולה האדומה מייצגת את σ=2 והמישור הכחול מייצג את z=2.

הגדרה בסיסית

מערכת הקואורדינטות הגליליות פרבוליות (σ, τ, z) מוגדרת על פי מערכת צירים הקרטזית (x, y, z) על ידי:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sigma \tau \\y&={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}}$

כאשר z הוא כמו במערכת צירים קרטזית, σ מגדיר את המקדם של הפרבולה הראשונה:

${\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

ו-τ מגדיר את הפרבולה השנייה:

${\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

מכאן אפשר להגדיר את המרחק מראשית הצירים כמו במערכת צירים קרטזית:

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}$

במרחק הזה משתמשים לפתרון משוואת המילטון-יעקובי עבור כוח מרכזי בקואורדינטות גליליות פרבוליות.

ניתן גם להגדיר את הקואורדינטות על פי קואורדינטות גליליות, (ρ, φ, z), בדרך הבאה:

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \cos \varphi &=\sigma \tau \\\rho \sin \varphi &={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}}$

וקטורי יחידה בקואורדינטות גליליות פרבוליות

וקטורי היחידה של קואורדינטות גליליות פרבוליות, מיוצגים על ידי וקטורי יחידה של מערכת צירים קרטזית בדרך הבאה:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}&={\frac {\tau {\hat {\mathbf {x} }}-\sigma {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\{\boldsymbol {\hat {\tau }}}&={\frac {\sigma {\hat {\mathbf {x} }}+\tau {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\\mathbf {\hat {z}} &=\mathbf {\hat {z}} \end{aligned}}}$

קישורים חיצוניים

• קואורדינטות גליליות פרבוליות, באתר MathWorld (באנגלית)