רדיוס עקמומיות

בגאומטריה, רדיוס העקמומיות, R, של עקום בנקודה הוא הרדיוס של המעגל המקרב בצורה הטובה ביותר את העקום בנקודה זו. רדיוס זה הוא ההופכי של העקמומיות בנקודה זו.

במקרה של עקום במרחב, רדיוס העקמומיות הוא האורך של וקטור העקמומיות.

רדיוס עקמומיות

במקרה של עקום במישור, R הוא הערך המוחלט של:

${\displaystyle {\frac {ds}{d\varphi }}={\frac {1}{\kappa }},}$

כאשר s הוא אורך הקשת מנקודה מסומנת, φ הוא הזווית שיוצר המשיק לעקום ו-${\displaystyle \scriptstyle \kappa }$ היא העקמומיות.

אם העקום נתון בקואורדינטות קרטזיות, אזי רדיוס העקמומיות הוא (בהנחה שהעקום גזיר לפחות פעמיים):

${\displaystyle R=\left|{\frac {\left(1+y'^{\,2}\right)^{3/2}}{y''}}\right|,\qquad {\mbox{where}}\quad y'={\frac {dy}{dx}},\quad y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}$.

אם העקום נתון באופן פרמטרי על ידי פונקציות (x(t ו-(y(t, אז רדיוס העקמומיות הוא:

${\displaystyle R=\;\left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|\;=\;\left|{\frac {{\big (}{{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}{\big )}^{3/2}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|,\qquad {\mbox{where}}\quad {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}},\quad {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\quad {\dot {y}}={\frac {dy}{dt}},\quad {\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}.}$

מבחינה היוריסטית, תוצאה זאת ניתנת לפרשנות כך:

${\displaystyle R={\frac {\left|\mathbf {v} \right|^{3}}{\left|\mathbf {v} \times \mathbf {\dot {v}} \right|}},\qquad {\mbox{where}}\quad \left|\mathbf {v} \right|=\left|({\dot {x}},{\dot {y}})\right|=R{\frac {d\varphi }{dt}}.}$

דוגמה

עבור חצי מעגל ברדיוס a בחצי המישור העליון:

${\displaystyle y={\sqrt {a^{2}-x^{2}}},\quad y'={\frac {-x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}},\quad y''={\frac {-a^{2}}{(a^{2}-x^{2})^{3/2}}},\quad R=|-a|=a.}$

עבור חצי מעגל ברדיוס a בחצי המישור התחתון:

${\displaystyle y=-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}},\quad R=|a|=a.}$

למעגל ברדיוס a יש רדיוס עקמומיות ששווה ל-a.

ראו גם

• מעגל נושק

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא רדיוס עקמומיות בוויקישיתוף

• רדיוס עקמומיות, באתר MathWorld (באנגלית)

Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd ed.), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0087-9