שפה (טופולוגיה)

שפה של קבוצה היא מושג טופולוגי שניתן לתאר אותו באופן אינטואיטיבי כקבוצה שמפרידה בין הפנים של הקבוצה ובין החוץ שלה. עבור צורות במישור, שפה של קבוצה היא קו המתאר (קונטור) החיצוני שלה. למשל: השפה של עיגול היא המעגל, השפה של כדור היא ספירה. השפה של קטע בישר הממשי היא קבוצת שתי נקודות הקצה שלו.

הנקודה ${\displaystyle p}$ נמצאת על השפה של הקבוצה ${\displaystyle V}$ שכן בכל סביבה של ${\displaystyle p}$ ישנן נקודות השייכות ל-${\displaystyle V}$ ונקודות השייכות למשלים של ${\displaystyle V}$.

באופן יותר מדויק, שפה היא קבוצת הנקודות של קבוצה שאפשר להתקרב אליהן כרצוננו הן מתוך הקבוצה והן מתוך המשלים שלה.

הגדרה פורמלית

תהי ${\displaystyle A}$ קבוצה במרחב טופולוגי ${\displaystyle X}$ אזי השפה שלה ${\displaystyle \partial A}$ (הסימון ∂ הוא d מסולסלת) מוגדרת להיות:

${\displaystyle \partial A={\mbox{Cl}}(A)\setminus {\mbox{Int}}(A)={\overline {A}}\setminus A^{\circ }}$

במילים: השפה של קבוצה ${\displaystyle A}$ היא ההפרש בין הסגור של ${\displaystyle A}$ והפנים של ${\displaystyle A}$.

מהגדרה זו, ומתכונות הסגור והפנים נובע ש-${\displaystyle \partial A}$ היא קבוצת הנקודות שבכל סביבה שלהן יש איבר של ${\displaystyle A}$ ואיבר של ${\displaystyle A^{c}}$. מהגדרה זו ברורה גם כי השפה של קבוצה זהה לשפה של המשלים שלה.

כמו כן ${\displaystyle \partial A=({\mbox{Int}}(A)\cup {\mbox{Ext}}(A))^{c}}$, כאשר ${\displaystyle {\mbox{Ext}}(A)}$ הוא החוץ של ${\displaystyle A}$. מכאן גם ברור שהשפה היא תמיד קבוצה סגורה (שהרי הפנים והחוץ של ${\displaystyle A}$ קבוצות פתוחות, ולכן גם איחודן).

ניתן לראות שגם ${\displaystyle \partial A={\overline {A}}\cap {\overline {A^{c}}}}$ (ומכאן גם רואים שהשפה היא תמיד קבוצה סגורה כחיתוך של קבוצות סגורות).

הסימון של קבוצת השפה באמצעות סימון הנגזרת ${\displaystyle \partial }$ קשור לכך ששפה מקיימת את הווריאציה הבאה של כלל לייבניץ: ${\displaystyle \partial \left(A\times B\right)=\left(\partial A\times B\right)\cup \left(A\times \partial B\right)}$.

דוגמאות

בישר הממשי עם הטופולוגיה הרגילה עליו:

• ${\displaystyle \partial (0,1)=\partial [0,1]=\left\{0,1\right\}}$
• ${\displaystyle \partial \mathbb {Z} =\mathbb {Z} }$ כאשר ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ היא קבוצת השלמים
• ${\displaystyle \partial \mathbb {Q} =\mathbb {R} }$ כאשר ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ היא קבוצת הרציונליים ו-${\displaystyle \mathbb {R} }$ היא קבוצת הממשיים.
• ${\displaystyle \partial (\mathbb {Q} \cap [0,1])=\mathbb {[0,1]} }$.
• ${\displaystyle \partial \mathbb {R} =\emptyset }$ כאשר ${\displaystyle \emptyset }$ היא הקבוצה הריקה.
• ${\displaystyle \partial \emptyset =\emptyset }$.

השפה תלויה בטופולוגיה, ולאותה קבוצה יהיו שפות שונות בטופולוגיות שונות. לדוגמה השפה של הקטע ${\displaystyle A=[0,1]}$ בישר הממשי היא הנקודות ${\displaystyle \{0,1\}}$. לעומת זאת בטופולוגיה הטריוויאלית השפה היא כל הישר הממשי.

ראו גם

• הקבוצה הנגזרת
• סגור (טופולוגיה)

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא שפה בוויקישיתוף

• שפה, באתר MathWorld (באנגלית)