תאוריה מתמטית

תאוריה מתמטית (או תורה מתמטית) היא ענף במתמטיקה המבוסס על קבוצה של אקסיומות. בה בעת זה יכול גם להיות גם גוף של ידע (למשל, מבוסס על אקסיומות והגדרות ידועות), ולכן במובן זה יכול להתייחס לתחום של מחקר מתמטי במסגרת שנקבעה.^[1][2]

אחת המעלות התאורטיות המשמעותיות ביותר במתמטיקה הוא עומק ההסבר. לדוגמה, לתורת הקבוצות יש את היכולת לסדר ולהסביר את תורת המספרים ואנליזה גאומטרית.

למרות ההכרח ההגיוני הרב (וההוכחה העצמית) של אמיתות אריתמטיות כגון 1<3, 2+2=4, 6-1=5 וכן הלאה, תאוריה שרק מניחה המון אמיתות כאלה לא תהיה מספקת. תאוריה נאותה היא תאוריה שבה אמיתות כאלה נגזרות מאקסיומות קודמות באופן הסברתי, כגון אקסיומות תאורטיות של קבוצות, כגון אקסיומות צרמלו-פרנקל. ההישג הייחודי של תורת הקבוצות האקסיומטית הוא יכולתה לתת בסיס לגזירה של מכלול המתמטיקה הקלאסית מקומץ אקסיומות. הסיבה שתורת הקבוצות מוערכת כל כך היא בגלל העומק ההסברתי שלה. תאוריה מתמטית שרק מניחה אינסוף אמיתות אריתמטיות ללא עומק הסבר לא תהיה מתחרה רצינית לאריתמטיקה של פאנו או לתורת הקבוצות של צרמלו-פרנקל.^[3][4]

ראו גם

• משפט - הצהרה עם הוכחה מתמטית