משפט הדגימה של נייקוויסט-שאנון

משפט הדגימה של נייקוויסט-שאנון (או בקיצור משפט הדגימה) הוא משפט בתורת האינפורמציה ובעיבוד אותות, העוסק במגבלה ובדרישות ממערכות דגימה של אותות, על מנת לא לאבד מידע בתהליך. המשפט משמש במיוחד במערכות תקשורת.

אות צר סרט כלשהו במרחב התדר

השכפול בתדר נייקוויסט

כאשר תדר הדגימה נמוך יותר

דגימה היא התהליך של הפיכת אות רציף (כפונקציה של הזמן או המרחב) לסדרת מספרים או אות בדיד הקיים רק בנקודות בדידות בזמן או במרחב. המשפט קובע שעל מנת שלא לאבד מידע, יש לדגום בתדר שהוא לפחות פי 2 מתדר האות הנדגם. אם האות כולל מספר תדרים, למשל בחבילת גלים, אז יש צורך בתדר דגימה שגדול לפחות פי 2 מהתדר המקסימלי של האות. תדר הסף הזה שתדר הדגימה צריך להיות פי 2 ממנו נקרא תדר נייקוויסט. כאשר האות נדגם בתדר קטן מהנדרש, תתקבל דגימת חסר.

ההסבר למשפט הדגימה הוא כאשר דוגמים אות רציף, אז מכפילים את האות במסרק הלמים, כלומר מודדים את ערך הפונקציה במרחקי זמן קבועים, ובכל יתר הזמן הפונקציה מתאפסת. כאשר עוברים למרחב התדר, ההכפלה הופכת לקונבולוציה של מסרק הלמים וספקטרום האות, והתוצאה של התהליך היא צורת ספקטרום של אות המידע שמשוכפל בדיוק באופן מחזורי לאורך ציר התדר, כאשר מרכז הספקטרום יושב במכפלות שלמות של תדר הדגימה. אם תדר הדגימה יהיה מתחת לפעמיים התדר המקסימלי, השכפולים הללו יחפפו אחד את השני ובתהליך שחזור האות, בו מסננים רק את הספקטרום הבסיסי, הוא יתעוות. תופעה זו נקראת "התחזות" או "קיפול" של תדרים (Aliasing). המשפט פותח על ידי קלוד שאנון והארי נייקוויסט.

תיאור מתמטי

עבור אות רציף, חסום פס (Band limited) ומוגבל אנרגיה ${\displaystyle x(t)}$, התמרת פורייה של האות תהיה:

${\displaystyle X(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i2\pi ft}\ dt\ }$

האות חסום פס, כלומר אין לו תדרים הגבוהים מהתדר החוסם ${\displaystyle B}$, כלומר ${\displaystyle X(f)=0}$ עבור ${\displaystyle |{f}|>B\,}$.

נשתמש בתדר הדגימה ${\displaystyle f_{s}\,}$, ביחידות של דגימות לשנייה, באופן הבא:

${\displaystyle f_{s}>2B\,}$

ולכן:

${\displaystyle B<{f_{s} \over 2}\,}$

כלומר תדר הדגימה גדול יותר מהחסם העליון של תדר האות. באופן כזה הדגימה לא תאבד מידע מהאות.

פרק הזמן בין הדגימות:

${\displaystyle T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{f_{s}}}}$

כאשר ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} \quad x(nT)}$ (מספר שלם).

יישומים

הדגימה היא אחד מהשלבים החשובים ביותר בעיבוד ספרתי של אותות. האותות בטבע הם לרוב רציפים או אנלוגים כגון אותות דיבור הנקלטים במיקרופון של טלפון סלולרי או האותות החשמלים הנפלטים ממוח האדם למשל בבדיקת EEG. לצורך עיבודם בצורה ספרתית על ידי מחשב או מעגל משולב ספרתי, יש צורך להפכם לסדרות מספרים או אותות ספרתיים ופעולה זו מבוצעת על ידי דגימת האותות.

ראו גם

• תדר נייקוויסט
• אות (תקשורת)
• עיבוד אותות ספרתי
• מסנן מתואם
• מסרק דיראק
• אלגוריתם גרצל
• קוונטיזציה
• הפרעה בין סימנים

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט הדגימה של נייקוויסט-שאנון בוויקישיתוף

• משפט הדגימה של נייקוויסט-שאנון, באתר MathWorld (באנגלית)
• ד"ר טל קוולר, מדוע נראה שהגלגלים סובבים לאחור?, במדור "שאל את המומחה" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 15 ביוני 2017